A quantidade Q de cafeína num indivíduo, thoras após a ingestão da mesma é dada pela expressão: Q(t) = Q0 e^(-t) Um indivíduo tomou uma xícara de café que contém 80 mg de cafeína. Sabendo-se que o tempo necessário para que a quantidade de cafeína no organismo passe para a metade é de, aproximadamente 4 horas, determine: Os valores de Q0 e de a e reescreva Q(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre a quantidade de cafeína no corpo ao longo do tempo. A fórmula que descreve isso é , onde:
  • é a quantidade de cafeína no corpo após horas.
  • é a quantidade inicial de cafeína (quando você tomou o café).
  • é uma constante que determina a rapidez com que a cafeína é eliminada.
Precisamos encontrar os valores de e , usando as informações fornecidas:
  1. Você tomou uma xícara de café com 80 mg de cafeína.
  2. O tempo para a cafeína no corpo diminuir pela metade é de aproximadamente 4 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • A quantidade inicial de cafeína, , é de 80 mg.
  • O tempo para a quantidade de cafeína diminuir para metade, que chamamos de meia-vida ( ), é de 4 horas.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação da meia-vida para encontrar o valor de . A meia-vida é o tempo que leva para a quantidade de uma substância diminuir para metade. Portanto, quando , .
Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (desde que não seja zero, o que é o caso aqui):
Agora, para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos isolar o :
Sabemos que , então:
Calculando o valor numérico:

Resposta

Os valores encontrados são:
  • mg
Reescrevendo a função da quantidade de cafeína no corpo:

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