A quantidade
de cafeína num indivíduo, thoras após a ingestão da mesma é dada pela expressão:
Um indivíduo tomou uma xícara de café que contém 80 mg de cafeína. Sabendo-se que o tempo necessário para que a quantidade de cafeína no organismo passe para a metade é de, aproximadamente 4 horas, determine: Que quantidade de cafeína permanece no organismo, 3 horas após a ingestão?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a quantidade de cafeína no corpo de uma pessoa ao longo do tempo:
. Aqui,
é a quantidade inicial de cafeína ingerida. A matéria envolvida é o decaimento exponencial, que é um conceito utilizado para descrever processos onde a quantidade diminui a uma taxa proporcional ao valor atual. Para resolver o problema, vamos usar essa fórmula e o fato de que a meia-vida da cafeína (o tempo para a quantidade reduzir pela metade) é de aproximadamente 4 horas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a meia-vida nessa equação. A meia-vida (
) é o tempo necessário para a quantidade de uma substância reduzir para metade do seu valor inicial. Na nossa equação, quando
, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Para resolver essa equação para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Mas o enunciado nos dá que
é aproximadamente 4 horas. Então, podemos ajustar a nossa equação original para considerar essa informação.
Passo 3
A equação original é
, mas sabemos que a meia-vida é
horas. Vamos relacionar isso com a nossa equação.
Sabemos que:
onde
é a constante de decaimento. Aqui,
, então:
Mas segundo o enunciado,
horas. Para ajustar a equação, podemos reescrever a função de decaimento considerando a meia-vida correta:
Onde
é a constante que precisamos encontrar. Usando a meia-vida:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos reescrever a função
:
Queremos saber a quantidade de cafeína ap��s 3 horas. Então, substituímos
na equação:
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então:
Passo 5
Para simplificar, podemos calcular o valor numérico do expoente:
Agora, calculamos
:
Multiplicando pela quantidade inicial:
Resposta
Aproximadamente 47,5 mg de cafeína permanecem no organismo 3 horas após a ingestão.