A quantidade Q de cafeína num indivíduo, thoras após a ingestão da mesma é dada pela expressão: Q(t) = Q0 e^(-t) Um indivíduo tomou uma xícara de café que contém 80 mg de cafeína. Sabendo-se que o tempo necessário para que a quantidade de cafeína no organismo passe para a metade é de, aproximadamente 4 horas, determine: Que quantidade de cafeína permanece no organismo, 3 horas após a ingestão?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a quantidade de cafeína no corpo de uma pessoa ao longo do tempo: . Aqui, é a quantidade inicial de cafeína ingerida. A matéria envolvida é o decaimento exponencial, que é um conceito utilizado para descrever processos onde a quantidade diminui a uma taxa proporcional ao valor atual. Para resolver o problema, vamos usar essa fórmula e o fato de que a meia-vida da cafeína (o tempo para a quantidade reduzir pela metade) é de aproximadamente 4 horas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a meia-vida nessa equação. A meia-vida ( ) é o tempo necessário para a quantidade de uma substância reduzir para metade do seu valor inicial. Na nossa equação, quando , temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Para resolver essa equação para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Mas o enunciado nos dá que é aproximadamente 4 horas. Então, podemos ajustar a nossa equação original para considerar essa informação.

Passo 3

A equação original é , mas sabemos que a meia-vida é horas. Vamos relacionar isso com a nossa equação.
Sabemos que:
onde é a constante de decaimento. Aqui, , então:
Mas segundo o enunciado, horas. Para ajustar a equação, podemos reescrever a função de decaimento considerando a meia-vida correta:
Onde é a constante que precisamos encontrar. Usando a meia-vida:
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 4

Agora que temos o valor de , podemos reescrever a função :
Queremos saber a quantidade de cafeína ap��s 3 horas. Então, substituímos na equação:
Vamos calcular o expoente primeiro:
Então:

Passo 5

Para simplificar, podemos calcular o valor numérico do expoente:
Agora, calculamos :
Multiplicando pela quantidade inicial:

Resposta

Aproximadamente 47,5 mg de cafeína permanecem no organismo 3 horas após a ingestão.

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