Uma quantidade de gás ideal monoatômico contém inicialmente n moles à temperatura T1. A pressão e o volume são lentamente duplicados, de modo que, em um diagrama p V, esta variação seja uma linha reta. Em função de n, R e T1, determine: W.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma quantidade de gás ideal monoatômico com mols a uma temperatura inicial . A pressão e o volume desse gás são lentamente duplicados de forma que, no diagrama , essa variação forma uma linha reta. Nosso objetivo é determinar o trabalho realizado durante esse processo, usando , (constante dos gases) e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás:
pV = nRT
Aqui, é a pressão, é o volume, é o número de mols, é a constante dos gases e é a temperatura.

Passo 3

Como a pressão e o volume são duplicados, podemos expressar as condições iniciais e finais do processo:
  • Condição inicial: (2p1)(2V1) = nRT2 4p1V1 = nRT2
  • Condição final:
Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação final:

Passo 4

Agora, podemos usar a condição inicial para substituir p1V1 = nRT1 4(nRT1) = nRT2 4T1 = T2 :
Portanto, a temperatura final .

Passo 5

Para encontrar o trabalho realizado W = integralV1^V2 p , dV durante o processo, usamos a fórmula geral do trabalho em processos expansivos ou contrativos:
Sabemos que, no diagrama , a variação é uma linha reta. Isso significa que podemos expressar em função de . Vamos encontrar essa relação.

Passo 6

Uma linha reta no diagrama p = mV + b pode ser escrita na forma:
p1 = mV1 + b (1)
Onde 2p1 = m(2V1) + b (2) é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Vamos determinar e usando as condições iniciais e finais.
Sabemos que:
  • Para ,
  • Para ,
Vamos substituir esses valores na equação da reta:
Para :
Para :

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar 2p1 - p1 = m(2V1 - V1) + b - b p1 = mV1 m = p1V1 e p1 = ( p1V1 ) V1 + b p1 = p1 + b b = 0 .
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
p = p1V1 V
Agora, substituindo na equação (1):
Então, a relação entre e é:

Passo 8

Agora que temos W = integralV1^2V1 p1V1 V , dV W = p1V1 integralV1^2V1 V , dV W = p1V1 [ V^22 ]V1^2V1 W = p1V1 ( (2V1)^22 - V1^22 ) W = p1V1 ( 4V1^22 - V1^22 ) W = p1V1 ( 3V1^22 ) W = 32 p1 V1 em função de , podemos substituir na integral do trabalho:

Passo 9

Lembrando da Lei dos Gases Ideais na condição inicial:
p1 V1 = n R T1
Substituindo na expressão de W = 32 n R T1 :

Resposta

O trabalho realizado W = 32 n R T1 durante o processo é:

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