Uma quantidade de gás ideal monoatômico contém inicialmente
moles à temperatura
. A pressão e o volume são lentamente duplicados, de modo que, em um diagrama
, esta variação seja uma linha reta. Em função de
e
, determine: W.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma quantidade de gás ideal monoatômico com
mols a uma temperatura inicial
. A pressão
e o volume
desse gás são lentamente duplicados de forma que, no diagrama
, essa variação forma uma linha reta. Nosso objetivo é determinar o trabalho realizado
durante esse processo, usando
,
(constante dos gases) e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás:
Aqui,
é a pressão,
é o volume,
é o número de mols,
é a constante dos gases e
é a temperatura.
Passo 3
Como a pressão e o volume são duplicados, podemos expressar as condições iniciais e finais do processo:
- Condição inicial:
- Condição final:
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação final:
Passo 4
Agora, podemos usar a condição inicial para substituir
:
Portanto, a temperatura final
.
Passo 5
Para encontrar o trabalho realizado
durante o processo, usamos a fórmula geral do trabalho em processos expansivos ou contrativos:
Sabemos que, no diagrama
, a variação é uma linha reta. Isso significa que podemos expressar
em função de
. Vamos encontrar essa relação.
Passo 6
Uma linha reta no diagrama
pode ser escrita na forma:
Onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Vamos determinar
e
usando as condições iniciais e finais.
Sabemos que:
- Para
, - Para
,
Vamos substituir esses valores na equação da reta:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2) para encontrar
e
.
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora, substituindo
na equação (1):
Então, a relação entre
e
é:
Passo 8
Agora que temos
em função de
, podemos substituir na integral do trabalho:
Passo 9
Lembrando da Lei dos Gases Ideais na condição inicial:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O trabalho realizado
durante o processo é: