Uma quantidade de gás obedece à lei dos gases ideais com k = 1.2, e o gás encontra-se em um recipiente que está sendo aquecido a uma taxa de 3 graus por segundo. Se em um dado instante, quando a temperatura é 300 graus, a pressão é 6 N / m^2 e decresce a uma taxa de 0,1 N/m^2 por segundo, ache a taxa de variação do volume naquele instante.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve a Lei dos Gases Ideais. Precisamos encontrar a taxa de variação do volume de um gás quando sabemos como a pressão e a temperatura estão mudando ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas às leis dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Aqui, é a pressão, é o volume, é a temperatura e é uma constante.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo :

Passo 4

Aplicando a regra do produto na derivada à esquerda, temos:
Aqui, é a taxa de variação da pressão e é a taxa de variação da temperatura.

Passo 5

Isolando na equação, obtemos:

Passo 6

Sabemos que , então podemos encontrar em termos de e :

Passo 7

Substituímos na equação da taxa de variação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • por segundo
  • por segundo
Substituindo na fórmula:

Passo 9

Calculando passo a passo:
  1. Substituindo:

Resposta

A taxa de variação do volume naquele instante é de 1,6 m³/s.

Exercícios relacionados

Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
e^(sen(pi t / 2))
Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de elevação 40 graus e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes horizontal e vertical do vetor velocidade.
a. Se nabla f(x, y) = (0, 0), para todo (x, y) pertence a B, prove que f é a função constante.
Dica. Sejam (x1, y1), (x, y) in B, e seja v = (x, y) - (x1, y1). Defina a função g:[0,1] -> R por g(t) = f((x1, y1) + t * v). Mostre que g está bem definida e é diferenciável. Aplique TVM em g para concluir que f(x, y) = f(x1, y1), para todo (x, y) em B.
Ache o período da função f(x) = (10 cos x)^2.