Uma quantidade de gás obedece à lei dos gases ideais com
, e o gás encontra-se em um recipiente que está sendo aquecido a uma taxa de
por segundo. Se em um dado instante, quando a temperatura é
, a pressão é
e decresce a uma taxa de
por segundo, ache a taxa de variação do volume naquele instante.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve a Lei dos Gases Ideais. Precisamos encontrar a taxa de variação do volume de um gás quando sabemos como a pressão e a temperatura estão mudando ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas às leis dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Aqui,
é a pressão,
é o volume,
é a temperatura e
é uma constante.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 4
Aplicando a regra do produto na derivada à esquerda, temos:
Aqui,
é a taxa de variação da pressão e
é a taxa de variação da temperatura.
Passo 5
Isolando
na equação, obtemos:
Passo 6
Sabemos que
, então podemos encontrar
em termos de
e
:
Passo 7
Substituímos
na equação da taxa de variação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
-
-
por segundo -
-
-
por segundo
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Calculando passo a passo:
-
-
- Substituindo:
Resposta
A taxa de variação do volume naquele instante é de 1,6 m³/s.
Exercícios relacionados
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de elevação
e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes horizontal e vertical do vetor velocidade.
a. Se
, para todo
, prove que
é a função constante.
Dica. Sejam , e seja
. Defina a função
por
. Mostre que
está bem definida e é diferenciável. Aplique TVM em
para concluir que
.
Dica. Sejam
Ache o período da função
.