a. Se nabla f(x, y) = (0, 0), para todo (x, y) pertence a B, prove que f é a função constante.
Dica. Sejam (x1, y1), (x, y) in B, e seja v = (x, y) - (x1, y1). Defina a função g:[0,1] -> R por g(t) = f((x1, y1) + t * v). Mostre que g está bem definida e é diferenciável. Aplique TVM em g para concluir que f(x, y) = f(x1, y1), para todo (x, y) em B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que, se o gradiente de uma função é igual a em todo o conjunto , então é uma função constante. Isso está relacionado ao conceito de gradiente em cálculo multivariável e ao Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos precisar entender o que é o gradiente, como ele se relaciona com a variação da função e aplicar o TVM para concluir que não muda de valor em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O gradiente de , , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa de variação nessa direção. Se para todo , isso indica que a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção dentro de .

Passo 3

Agora, vamos considerar dois pontos quaisquer e pertencentes a . Definimos o vetor , que é basicamente a diferença entre os dois pontos, ou seja, o vetor que conecta a .

Passo 4

Vamos definir uma nova função por:
Isso significa que mede os valores de ao longo da reta que liga a , parametrizada por variando de 0 a 1.

Passo 5

Precisamos mostrar que está bem definida e é diferenciável. Bem definida significa que, para cada em , a expressão está dentro de , o que é verdadeiro já que é um conjunto aberto e contém toda a linha entre e . Diferenciável significa que tem uma derivada em todos os pontos de , o que é garantido porque é diferenciável em .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) à função . O TVM nos diz que existe pelo menos um ponto tal que:
Ou seja,

Passo 7

Calculando a derivada , temos:
Mas sabemos que , então:
Portanto,

Resposta

Concluímos que para todos , ou seja, é uma função constante em .

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Uma quantidade de gás obedece à lei dos gases ideais com k = 1.2, e o gás encontra-se em um recipiente que está sendo aquecido a uma taxa de 3 graus por segundo. Se em um dado instante, quando a temperatura é 300 graus, a pressão é 6 N / m^2 e decresce a uma taxa de 0,1 N/m^2 por segundo, ache a taxa de variação do volume naquele instante.
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
e^(sen(pi t / 2))
Ache o período da função f(x) = (10 cos x)^2.
a. Verifique que partial fpartial x(0, y)=y para todo y, e que partial fpartial y(x, 0)=0, para todo x.
b. Verifique que partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0 e que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1.