a. Se
, para todo
, prove que
é a função constante.
Dica. Sejam
, e seja
. Defina a função
por
. Mostre que
está bem definida e é diferenciável. Aplique TVM em
para concluir que
.
Dica. Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que, se o gradiente de uma função
é igual a
em todo o conjunto
, então
é uma função constante. Isso está relacionado ao conceito de gradiente em cálculo multivariável e ao Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos precisar entender o que é o gradiente, como ele se relaciona com a variação da função e aplicar o TVM para concluir que
não muda de valor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente de
,
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude representa a taxa de variação nessa direção. Se
para todo
, isso indica que a função
não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar dois pontos quaisquer
e
pertencentes a
. Definimos o vetor
, que é basicamente a diferença entre os dois pontos, ou seja, o vetor que conecta
a
.
Passo 4
Vamos definir uma nova função
por:
Isso significa que
mede os valores de
ao longo da reta que liga
a
, parametrizada por
variando de 0 a 1.
Passo 5
Precisamos mostrar que
está bem definida e é diferenciável. Bem definida significa que, para cada
em
, a expressão
está dentro de
, o que é verdadeiro já que
é um conjunto aberto e contém toda a linha entre
e
. Diferenciável significa que
tem uma derivada em todos os pontos de
, o que é garantido porque
é diferenciável em
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) à função
. O TVM nos diz que existe pelo menos um ponto
tal que:
Ou seja,
Passo 7
Calculando a derivada
, temos:
Mas sabemos que
, então:
Portanto,
Resposta
Concluímos que
para todos
, ou seja,
é uma função constante em
.
Exercícios relacionados
Uma quantidade de gás obedece à lei dos gases ideais com
, e o gás encontra-se em um recipiente que está sendo aquecido a uma taxa de
por segundo. Se em um dado instante, quando a temperatura é
, a pressão é
e decresce a uma taxa de
por segundo, ache a taxa de variação do volume naquele instante.
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Ache o período da função
.
a. Verifique que
para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
b. Verifique que