Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
e^(sen(pi t / 2))

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função é periódica. Se for, devemos determinar seu período fundamental. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica se existir um número tal que para todo . O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Observamos que a função dentro do exponencial é . Sabemos que a função seno é periódica com período , onde é a frequência angular. No nosso caso, , então o período do seno é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a função composta também é periódica. Para isso, vamos analisar o comportamento da função exponencial em relação ao período do seno.

Passo 5

Sabemos que a função exponencial é uma função que, em geral, não é periódica porque seu crescimento é contínuo e não se repete em intervalos fixos. No entanto, quando essa função é composta com uma função periódica como o seno, podemos ter uma função periódica dependendo do argumento.

Passo 6

Como é periódica com período 4, vamos verificar se também repete seus valores a cada 4 unidades de .

Passo 7

Calculando :
Isso ocorre porque , então a função exponencial repete seus valores a cada 4 unidades de .

Resposta

A função é periódica, e seu período fundamental é .

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