Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função y = i0 . ( 0.6 ) x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3. A profundidade desse lago, em cm, está entre. Dados log 2 = 0,30 log 3 = 0,48
a - 150 e 160
b - 160 e 170
c - 170 e 180
d - 180 e 190
e - 190 e 200

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. A gente tem um lago onde a intensidade da luz diminui conforme aumenta a profundidade. A função que descreve essa intensidade é $ y = i_0 \cdot (0.6)^{x/88} $, onde $ i_0 $ é a intensidade na superfície e $ x $ é a profundidade em centímetros. Sabemos que na parte mais profunda do lago, a intensidade da luz é $ \frac{i_0}{3} $. A matéria envolvida aqui é funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função de intensidade à intensidade no ponto mais profundo:
i0 cdot (0.6)^x/88 = i03
Podemos dividir ambos os lados por $ i_0 $ para simplificar:
i0

Passo 3

Agora, para resolver para $ x $, vamos usar logaritmos. Lembra que $ \log(a^b) = b \cdot \log(a) $. Aplicando o logaritmo em ambos os lados:
x
Isso simplifica para:
log(a^b) = b cdot log(a)

Passo 4

Sabemos que $ \log\left( \frac{1}{3} \right) = -\log(3) $. Então substituímos:
log( 13 ) = -log(3)

Passo 5

Agora, isolamos $ x $:
x
Sabendo que:
x = -88 cdot log(3)log(0.6)
Como $ \log(5) = \log\left( \frac{10}{2} \right) = 1 - \log(2) = 1 - 0,30 = 0,70 $, então:
log(3) = 0,48 e log(0.6) = log( 35 ) = log(3) - log(5)

Passo 6

Substituímos os valores na equação de $ x $:
x

Resposta

A profundidade do lago está entre 190 e 200 cm. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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