Quais os valores reais de x que para os quais a expressao raiz quadrada de x^2-6x+16 é igual a 2 raiz de 2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores reais de $ x $ que fazem com que a expressão $ \sqrt{x^2 - 6x + 16} $ seja igual a $ 2\sqrt{2} $. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente de equações envolvendo radicais e funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação com uma raiz quadrada: $ \sqrt{x^2 - 6x + 16} = 2\sqrt{2} $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Lembre-se que $ (\sqrt{A})^2 = A $.
Então:
(raizA)^2 = A
( raizx^2 - 6x + 16 )^2 = ( 2raiz2 )^2
x^2 - 6x + 16 = 4 times 2

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma função quadrática. Subtraia 8 de ambos os lados:
x^2 - 6x + 16 - 8 = 0
x^2 - 6x + 8 = 0

Passo 5

Temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de $ x $.
A fórmula é:
ax^2 + bx + c = 0
Onde, no nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -6 $ e $ c = 8 $.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
x = -(-6) pm raiz(-6)^2 - 4 times 1 times 82 times 1
x = 6 pm raiz36 - 322
x = 6 pm raiz42
x = 6 pm 22

Passo 7

Resolvendo as duas possibilidades:
  1. Primeira solução:
x = 6 + 22 = 82 = 4
  1. Segunda solução:
x = 6 - 22 = 42 = 2

Passo 8

Agora, precisamos verificar se essas soluções realmente satisfazem a equação original, pois ao elevar ambos os lados ao quadrado, podemos introduzir soluções extranhas.
Vamos testar $ x = 4 $:
x = 4
Confere!
Agora, testar $ x = 2 $:
raiz4^2 - 6 times 4 + 16 = raiz16 - 24 + 16 = raiz8 = 2raiz2
Também confere!

Resposta

Os valores reais de $ x $ que satisfazem a equação são $ x = 2 $ e $ x = 4 $.

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