Quais os valores reais de x que para os quais a expressao raiz quadrada de x^2-6x+16 é igual a 2 raiz de 2?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores reais de $ x $ que fazem com que a expressão $ \sqrt{x^2 - 6x + 16} $ seja igual a $ 2\sqrt{2} $. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente de equações envolvendo radicais e funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação com uma raiz quadrada: $ \sqrt{x^2 - 6x + 16} = 2\sqrt{2} $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam essa igualdade verdadeira.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Lembre-se que $ (\sqrt{A})^2 = A $.
Então:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma função quadrática. Subtraia 8 de ambos os lados:
Passo 5
Temos uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de $ x $.
A fórmula é:
Onde, no nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -6 $ e $ c = 8 $.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Resolvendo as duas possibilidades:
- Primeira solução:
- Segunda solução:
Passo 8
Agora, precisamos verificar se essas soluções realmente satisfazem a equação original, pois ao elevar ambos os lados ao quadrado, podemos introduzir soluções extranhas.
Vamos testar $ x = 4 $:
Confere!
Agora, testar $ x = 2 $:
Também confere!
Resposta
Os valores reais de $ x $ que satisfazem a equação são $ x = 2 $ e $ x = 4 $.