Uma fábrica produziu num dia N bombons, sendo N um número maior do que 1000. Se toda a produção desse dia fosse embalada em caixas com 8 unidades, a última caixa ficaria somente com 5 bombons. Também se fosse embalada em caixas com 12 unidades, a última caixa ficaria apenas com 5 bombons. Considere o menor valor possível para N nessas condições. O último dígito desse número é?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma fábrica que produziu N bombons em um dia, onde N é maior que 1000. Se embalássemos todos esses bombons em caixas de 8 unidades, a última caixa teria apenas 5 bombons. O mesmo acontece se usarmos caixas de 12 unidades. Nosso objetivo é encontrar o menor valor possível para N que satisfaça essas condições e descobrir qual é o último dígito desse número.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir essas informações em expressões matemáticas usando congruências. Quando dizemos que ao dividir N por 8 sobra 5, isso significa que:
Da mesma forma, se ao dividir N por 12 sobra 5, temos:
Agora, precisamos encontrar o menor número N maior que 1000 que satisfaça essas duas equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Para resolver isso, vamos procurar um número N que seja congruente a 5 tanto módulo 8 quanto módulo 12. Isso significa que N - 5 deve ser múltiplo tanto de 8 quanto de 12. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 8 e 12 nos ajudará aqui.
Primeiro, calculamos o MMC de 8 e 12. Sabemos que:
- Fatores de 8: $ 2^3 $
- Fatores de 12: $ 2^2 \times 3 $
O MMC é o produto dos fatores com os maiores expoentes:
Passo 4
Então, podemos expressar N da seguinte forma:
onde k é um inteiro positivo.
Agora, precisamos encontrar o menor valor de k tal que N seja maior que 1000:
Como k deve ser inteiro, o menor valor possível é k = 42.
Passo 5
Substituindo k = 42 na equação de N:
Resposta
O menor valor possível para N maior que 1000 que satisfaz as condições é 1013. O último dígito desse número é 3.