Uma fábrica produziu num dia N bombons, sendo N um número maior do que 1000. Se toda a produção desse dia fosse embalada em caixas com 8 unidades, a última caixa ficaria somente com 5 bombons. Também se fosse embalada em caixas com 12 unidades, a última caixa ficaria apenas com 5 bombons. Considere o menor valor possível para N nessas condições. O último dígito desse número é?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma fábrica que produziu N bombons em um dia, onde N é maior que 1000. Se embalássemos todos esses bombons em caixas de 8 unidades, a última caixa teria apenas 5 bombons. O mesmo acontece se usarmos caixas de 12 unidades. Nosso objetivo é encontrar o menor valor possível para N que satisfaça essas condições e descobrir qual é o último dígito desse número.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir essas informações em expressões matemáticas usando congruências. Quando dizemos que ao dividir N por 8 sobra 5, isso significa que:
N equiv 5 pmod8
Da mesma forma, se ao dividir N por 12 sobra 5, temos:
N equiv 5 pmod12
Agora, precisamos encontrar o menor número N maior que 1000 que satisfaça essas duas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Para resolver isso, vamos procurar um número N que seja congruente a 5 tanto módulo 8 quanto módulo 12. Isso significa que N - 5 deve ser múltiplo tanto de 8 quanto de 12. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 8 e 12 nos ajudará aqui.
Primeiro, calculamos o MMC de 8 e 12. Sabemos que:
  • Fatores de 8: $ 2^3 $
  • Fatores de 12: $ 2^2 \times 3 $
O MMC é o produto dos fatores com os maiores expoentes:
2^3

Passo 4

Então, podemos expressar N da seguinte forma:
N = 24k + 5
onde k é um inteiro positivo.
Agora, precisamos encontrar o menor valor de k tal que N seja maior que 1000:
24k + 5 > 1000
24k > 995
k > 99524
k > 41.458
Como k deve ser inteiro, o menor valor possível é k = 42.

Passo 5

Substituindo k = 42 na equação de N:
N = 24 times 42 + 5
N = 1008 + 5
N = 1013

Resposta

O menor valor possível para N maior que 1000 que satisfaz as condições é 1013. O último dígito desse número é 3.

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