De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letras, se a letra A deve figurar na palavra mas não pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse ter letras distintas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de contagem! O enunciado pede para a gente descobrir de quantos jeitos podemos formar uma palavra de 5 letras usando o alfabeto de 26 letras, com duas condições:
  1. A letra A deve estar na palavra, mas não pode ser a primeira letra.
  2. Depois, considerar também que todas as letras na palavra devem ser distintas.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e combinação, que são partes da combinatória, uma área da matemática que estuda as contagens possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que as letras podem se repetir na palavra.
Condição 1: A letra A deve estar na palavra, mas não pode ser a primeira letra.
Vamos pensar em como posicionar o A na palavra. Como ele não pode ser a primeira letra, ele pode estar em uma das 4 últimas posições (segunda, terceira, quarta ou quinta letra).
Para cada uma dessas posições onde colocamos o A, as outras 4 letras podem ser qualquer uma das 26 letras do alfabeto, inclusive o A novamente (já que estamos permitindo repetições).
Então, temos:
  • 4 opções para a posição do A.
  • 26 opções para cada uma das outras 4 letras.
Multiplicando essas opções, a quantidade de palavras possíveis é:
4 times 26^4

Passo 3

Agora, vamos considerar a segunda parte da questão: as letras devem ser distintas.
Condição 2: Além de a letra A estar na palavra e não ser a primeira, todas as letras devem ser diferentes.
Vamos novamente posicionar o A em uma das 4 últimas posições.
Depois de escolher a posição do A, a primeira letra não pode ser o A, então temos 25 opções (as outras letras do alfabeto).
Para as demais 3 letras, já usadas o A e a primeira letra escolhida, então:
  • A segunda letra tem 24 opções.
  • A terceira letra tem 23 opções.
  • A quarta letra tem 22 opções.
Multiplicando todas as opções:
4 times 25 times 24 times 23 times 22

Resposta

  • Com letras repetidas permitidas: Existem 4 times 26^4 = 4 times 456.976 = 1.827.904 maneiras de formar a palavra.
  • Com letras todas distintas: Existem 4 times 25 times 24 times 23 times 22 = 4 times 303.600 = 1.214.400 maneiras de formar a palavra.

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