De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modo que duas determinadas pessoas dessas 7 não fiquem juntas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de permutação, que é quando a gente organiza um grupo de objetos em ordem. Aqui, o enunciado pede para descobrir de quantas maneiras podemos sentar 7 pessoas em uma fila, mas com a condição de que duas pessoas específicas não fiquem juntas. Vamos precisar usar conceitos de permutação e um pouco de raciocínio sobre como contar as possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular todas as possíveis maneiras de sentar as 7 pessoas sem nenhuma restrição. Isso é uma permutação simples de 7 elementos, que é calculada como 7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040 (7 fatorial). O fatorial significa multiplicar todos os números de 1 até 7:
Então, sem nenhuma restrição, temos 5040 maneiras de organizar as 7 pessoas.

Passo 3

Agora, precisamos considerar as situações que não queremos, ou seja, quando as duas pessoas específicas estão juntas. Para facilitar, vamos tratar essas duas pessoas como se fossem uma “super pessoa”. Assim, ao invés de 7 pessoas, temos 6 “elementos” para organizar (a “super pessoa” mais as outras 5).
O número de maneiras de organizar esses 6 elementos é 6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720 :
2 times 6! = 2 times 720 = 1440
Mas atenção! Dentro da “super pessoa”, as duas pessoas específicas podem trocar de lugar entre si. Ou seja, para cada arranjo dos 6 elementos, temos 2 maneiras de organizar as duas pessoas dentro da “super pessoa”. Então, multiplicamos por 2:
Portanto, existem 1440 maneiras em que as duas pessoas específicas ficam juntas.

Passo 4

Finalmente, para encontrar as maneiras desejadas (onde as duas pessoas não estão juntas), vamos subtrair as maneiras indesejadas das maneiras totais:
Maneiras desejadas = 7! - 2 times 6! = 5040 - 1440 = 3600

Resposta

Existem 3600 maneiras de sentar as 7 pessoas em fila de modo que as duas pessoas específicas não fiquem juntas.

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