Para seleção brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meias e 4 atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meias e 2 atacantes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre combinações, uma parte da matemática que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos selecionar grupos de itens sem importar a ordem. No nosso caso, queremos formar uma seleção de futebol escolhendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meias e 2 atacantes a partir de um grupo maior. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde é o total de itens disponíveis e é o número de itens que queremos selecionar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o goleiro. Temos 2 goleiros disponíveis e precisamos escolher 1. Usando a fórmula de combinação:
C(2, 1) = 2!1!(2 - 1)! = 21 times 1 = 2
Então, há 2 maneiras de escolher o goleiro.

Passo 3

Agora, vamos para os zagueiros. Temos 6 zagueiros disponíveis e precisamos escolher 4. Aplicando a fórmula:
C(6, 4) = 6!4!(6 - 4)! = 72024 times 2 = 72048 = 15
Portanto, existem 15 maneiras de selecionar os 4 zagueiros.

Passo 4

Seguimos para os meias. Temos 7 meias disponíveis e precisamos escolher 4. Usando a combinação:
C(7, 4) = 7!4!(7 - 4)! = 504024 times 6 = 5040144 = 35
Assim, há 35 maneiras de selecionar os 4 meias.

Passo 5

Por fim, vamos escolher os atacantes. Temos 4 atacantes disponíveis e precisamos escolher 2. Aplicando a fórmula de combinação:
C(4, 2) = 4!2!(4 - 2)! = 242 times 2 = 244 = 6
Logo, existem 6 maneiras de selecionar os 2 atacantes.

Passo 6

Para encontrar o número total de maneiras de escalar a seleção, multiplicamos as combinações de cada posição:
Total = C(2, 1) times C(6, 4) times C(7, 4) times C(4, 2) = 2 times 15 times 35 times 6
Calculando:
2 times 15 = 30 30 times 35 = 1050 1050 times 6 = 6300

Resposta

6.300 maneiras de escalar a seleção escolhendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meias e 2 atacantes.

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