Quantos números de 7 algarismos existem nos quais aparecem uma só vez os algarismos 3, 4 e 5, e quatro vezes o algarismo 9 ?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta tá pedindo. A gente precisa descobrir quantos números de 7 dígitos existem onde os algarismos 3, 4 e 5 aparecem uma só vez cada um, e o algarismo 9 aparece quatro vezes. Vamos usar a combinatória, que é a parte da matemática que estuda contagem e arranjos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos dígitos que vamos usar: 3, 4, 5 e 9. Sabemos que 3, 4 e 5 aparecem uma vez cada, e o 9 aparece quatro vezes. Então, nosso número vai ter a seguinte composição: 3, 4, 5, 9, 9, 9, 9.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir de quantas maneiras podemos arranjar esses dígitos nos 7 espaços disponíveis. Como alguns dígitos se repetem, usamos a fórmula de arranjo com repetição:
Onde:
- $ n $ é o total de elementos (no caso, 7 dígitos)
- $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as repetições de cada elemento distinto
Passo 4
Aplicando a fórmula:
- Total de dígitos, $ n = 7 $
- O dígito 9 se repete 4 vezes, então $ n_1 = 4 $
- Os dígitos 3, 4 e 5 aparecem uma vez cada, então $ n_2 = n_3 = n_4 = 1 $
Substituindo na fórmula:
Resposta
Existem 210 números de 7 dígitos que atendem às condições especificadas.