Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos produtos diferentes podemos obter escolhendo 3 números distintos entre 2, 3, 5, 7 e 11. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente as combinações. Para resolver, vamos precisar entender como contar as diferentes formas de selecionar 3 números desses 5 disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação. Combinação é uma maneira de selecionar itens onde a ordem não importa. No nosso caso, a ordem dos números que escolhemos para multiplicar não muda o produto final. Por exemplo, escolher 2, 3 e 5 é o mesmo que escolher 3, 5 e 2.
Passo 3
Para calcular quantas combinações de 3 números podemos fazer com os 5 disponíveis (2, 3, 5, 7 e 11), usamos a fórmula de combinação:
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular os fatoriais:
Passo 5
Agora substituímos os valores calculados:
Então, temos 10 combinações possíveis de 3 números.
Passo 6
Cada uma dessas combinações de 3 números resultará em um produto único, já que estamos multiplicando números primos distintos. Portanto, cada combinação gera um produto diferente.
Resposta
Portanto, podemos obter 10 produtos diferentes ao escolher 3 fatores distintos entre 2, 3, 5, 7 e 11.