Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos produtos diferentes podemos obter escolhendo 3 números distintos entre 2, 3, 5, 7 e 11. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente as combinações. Para resolver, vamos precisar entender como contar as diferentes formas de selecionar 3 números desses 5 disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação. Combinação é uma maneira de selecionar itens onde a ordem não importa. No nosso caso, a ordem dos números que escolhemos para multiplicar não muda o produto final. Por exemplo, escolher 2, 3 e 5 é o mesmo que escolher 3, 5 e 2.

Passo 3

Para calcular quantas combinações de 3 números podemos fazer com os 5 disponíveis (2, 3, 5, 7 e 11), usamos a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
C(5, 3) = 5!3!(5 - 3)! = 5!3!2!
Vamos calcular os fatoriais:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
3! = 3 times 2 times 1 = 6
2! = 2 times 1 = 2

Passo 5

Agora substituímos os valores calculados:
C(5, 3) = 1206 times 2 = 12012 = 10
Então, temos 10 combinações possíveis de 3 números.

Passo 6

Cada uma dessas combinações de 3 números resultará em um produto único, já que estamos multiplicando números primos distintos. Portanto, cada combinação gera um produto diferente.

Resposta

Portanto, podemos obter 10 produtos diferentes ao escolher 3 fatores distintos entre 2, 3, 5, 7 e 11.

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