Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores, entre eles Joaquim e Caio. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados se Ari e Arnaldo devem ser escalados necessariamente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um conjunto de 10 jogadores de futebol de salão, incluindo Joaquim e Caio. Precisamos formar times de 5 jogadores, mas com a condição de que Ari e Arnaldo devem estar sempre no time. Então, vamos usar combinatória para resolver esse problema, especificamente o conceito de combinação, pois a ordem dos jogadores no time não importa.

Passo 2

Como Ari e Arnaldo devem estar no time, já temos 2 jogadores fixos. Portanto, precisamos escolher os outros 3 jogadores para completar o time de 5. Isso significa que vamos escolher 3 jogadores entre os 8 jogadores restantes (já que 10 total menos Ari e Arnaldo dá 8).

Passo 3

Para calcular o número de maneiras de escolher 3 jogadores entre 8, usamos a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Substituindo os valores, temos:
C(8, 3) = 8!3!(8 - 3)! = 8!3! cdot 5!

Passo 4

Calculando passo a passo:
8! = 40320 3! = 6 5! = 120
Então,
C(8, 3) = 403206 cdot 120 = 40320720 = 56

Resposta

Podemos formar 56 times de 5 jogadores que incluem necessariamente Ari e Arnaldo.

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