Sejam e conjuntos de números naturais com e . Quantas são as funções injetoras?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos, e , onde o conjunto tem elementos e o conjunto tem elementos. A pergunta é: quantas funções injetoras existem?
Vamos precisar entender o conceito de funções injetoras e usar o princípio de contagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma função é chamada de injetora se cada elemento de for mapeado para um elemento único de . Ou seja, se e são elementos distintos de , então e também devem ser distintos em .

Passo 3

Para contar quantas funções injetoras existem, vamos pensar em quantas maneiras temos de atribuir elementos únicos de para cada elemento de .
No primeiro elemento de , temos todas as opções de disponíveis.

Passo 4

Para o segundo elemento de , já usamos um elemento de , então restam opções.
Continuando dessa forma, para o terceiro elemento de , teremos opções, e assim por diante, até o -ésimo elemento de , que terá opções.

Passo 5

Multiplicando todas essas opções juntas, obtemos o número total de funções injetoras:
Isso pode ser representado de forma compacta como:
onde é o fatorial de e é o fatorial de .

Resposta

O número de funções injetoras é dado por:

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