Sejam
e
conjuntos de números naturais com
e
. Quantas são as funções
injetoras?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos,
e
, onde o conjunto
tem
elementos e o conjunto
tem
elementos. A pergunta é: quantas funções injetoras
existem?
Vamos precisar entender o conceito de funções injetoras e usar o princípio de contagem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma função
é chamada de injetora se cada elemento de
for mapeado para um elemento único de
. Ou seja, se
e
são elementos distintos de
, então
e
também devem ser distintos em
.
Passo 3
Para contar quantas funções injetoras existem, vamos pensar em quantas maneiras temos de atribuir elementos únicos de
para cada elemento de
.
No primeiro elemento de
, temos todas as
opções de
disponíveis.
Passo 4
Para o segundo elemento de
, já usamos um elemento de
, então restam
opções.
Continuando dessa forma, para o terceiro elemento de
, teremos
opções, e assim por diante, até o
-ésimo elemento de
, que terá
opções.
Passo 5
Multiplicando todas essas opções juntas, obtemos o número total de funções injetoras:
Isso pode ser representado de forma compacta como:
onde
é o fatorial de
e
é o fatorial de
.
Resposta
O número de funções injetoras
é dado por: