Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quantos números entre 1 e 1000 são múltiplos de 7 ou de 11. Para isso, vamos usar conceitos de múltiplos e o princípio da inclusão-exclusão, que ajuda a contar elementos que pertencem a mais de um conjunto sem contar duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar quantos números entre 1 e 1000 são múltiplos de 7. Para isso, dividimos 1000 por 7 e consideramos apenas a parte inteira do resultado.
Então, temos 142 múltiplos de 7 entre 1 e 1000.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantos números entre 1 e 1000 são múltiplos de 11. Fazemos a mesma coisa: dividimos 1000 por 11 e pegamos a parte inteira.
Então, existem 90 múltiplos de 11 nesse intervalo.
Passo 4
Até aqui, somamos os múltiplos de 7 e de 11, mas alguns números são múltiplos dos dois, ou seja, múltiplos de 77 (já que 7 e 11 são primos, o mínimo múltiplo comum é
). Precisamos subtrair esses para não contar duas vezes.
Primeiro, vamos encontrar quantos múltiplos de 77 existem entre 1 e 1000:
Passo 5
Agora, aplicando o princípio da inclusão-exclusão, somamos os múltiplos de 7 e de 11 e subtraímos os múltiplos de 77:
Resposta
Entre 1 e 1000, existem 220 números que são múltiplos de 7 ou de 11.