Quantos são os números naturais de 4 dígitos distintos, maiores que 5.500?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos números naturais de 4 dígitos distintos são maiores que 5.500. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre princípios de contagem e arranjos, que nos ajudam a calcular quantas combinações diferentes podemos formar com certas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes para facilitar a contagem:
  1. Números onde o primeiro dígito é 5.
  2. Números onde o primeiro dígito é 6, 7, 8 ou 9.
Assim, conseguimos tratar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1: Primeiro dígito é 5
Queremos que o número seja maior que 5.500. Então, o número deve ser maior que 5.500 e ter 4 dígitos distintos.
  • Primeiro dígito: Já sabemos que é 5.
  • Segundo dígito: Para que o número seja maior que 5.500, o segundo dígito precisa ser maior que 5. Além disso, como os dígitos devem ser distintos, ele não pode ser 5. Então, as opções para o segundo dígito são 6, 7, 8 ou 9. Isso dá 4 opções.
  • Terceiro dígito: Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os já usados (5 e o escolhido no segundo dígito). Isso dá 8 opções.
  • Quarto dígito: Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os três já usados. Isso dá 7 opções.
Então, para este caso, o número de combinações é:
1 times 4 times 8 times 7 = 224

Passo 4

Caso 2: Primeiro dígito é 6, 7, 8 ou 9
Aqui, o número já é maior que 5.500 porque o primeiro dígito é maior que 5.
  • Primeiro dígito: Pode ser 6, 7, 8 ou 9. Isso dá 4 opções.
  • Segundo dígito: Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto o escolhido como primeiro. Isso dá 9 opções.
  • Terceiro dígito: Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os dois já usados. Isso dá 8 opções.
  • Quarto dígito: Pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto os três já usados. Isso dá 7 opções.
Então, para este caso, o número de combinações é:
4 times 9 times 8 times 7 = 2016

Passo 5

Agora, somamos as combinações dos dois casos para obter o total de números que satisfazem as condições:
224 + 2016 = 2240

Resposta

2240

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