Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizado por pessoas que têm altura normalmente distribuída com média 1,80m e desvio padrão de 8 cm .
b) Se o vão da porta for construído com 1,85 m de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam pela porta sem se curvar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a altura das pessoas, que segue uma distribuição normal com média de 1,80 metros e desvio padrão de 8 centímetros. Queremos saber quantas, dentre 1000 pessoas, conseguem passar por uma porta de 1,85 metros sem precisar se curvar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição normal e o cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição normal. Ela é uma curva em forma de sino que descreve como os dados estão distribuídos ao redor da média. No nosso caso, a média é 1,80 m e o desvio padrão é 0,08 m (já que 8 cm = 0,08 m). Queremos saber a probabilidade de uma pessoa ter altura menor ou igual a 1,85 m.

Passo 3

Vamos padronizar a altura de 1,85 m usando o z-score, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula do z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que queremos padronizar (1,85 m),
  • é a média (1,80 m),
  • é o desvio padrão (0,08 m).

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
z = 1,85 - 1,800,08 = 0,050,08 = 0,625
Então, o z-score é 0,625.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse z-score na tabela da distribuição normal padrão. Um z-score de 0,625 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,7340, ou 73,40%. Isso significa que 73,40% das pessoas têm altura menor ou igual a 1,85 m.

Passo 6

Para descobrir quantas pessoas, dentre 1000, conseguem passar pela porta sem se curvar, multiplicamos a probabilidade pela quantidade total de pessoas:
Número de pessoas = 1000 times 0,7340 = 734 ú

Resposta

Dentre 1000 pessoas, aproximadamente 734 passam pela porta sem se curvar.

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