Quantos são os números naturais de 5 dígitos distintos que são múltiplos de 5?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quantos números naturais de 5 dígitos distintos são múltiplos de 5. Para isso, vamos usar conceitos de contagem e permutação. Vamos precisar considerar as regras para formar números múltiplos de 5 e garantir que todos os dígitos sejam diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que números múltiplos de 5 sempre terminam com 0 ou 5. Então, temos duas possibilidades para o último dígito do número de 5 dígitos: ele pode ser 0 ou 5. Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 3

Caso 1: O último dígito é 0.
  • Primeiro dígito: Como o número tem 5 dígitos, o primeiro dígito não pode ser 0. Então, temos 9 opções (de 1 a 9).
  • Segundo dígito: Não podemos repetir o dígito escolhido no primeiro lugar nem usar 0 novamente. Restam então 8 opções.
  • Terceiro dígito: Já usamos dois dígitos diferentes, restando 7 opções.
  • Quarto dígito: Restam 6 opções.
Para calcular o total de números nesse caso, multiplicamos as opções de cada posição:
9 times 8 times 7 times 6 = 3024

Passo 4

Caso 2: O último dígito é 5.
  • Primeiro dígito: Novamente, não pode ser 0 e também não pode ser 5 (pois já está no final). Então, temos 8 opções (1-9, exceto 5).
  • Segundo dígito: Não podemos usar o dígito do primeiro lugar nem o 5. Restam 8 opções (incluindo o 0 agora).
  • Terceiro dígito: Já usamos dois dígitos diferentes, restando 7 opções.
  • Quarto dígito: Restam 6 opções.
Multiplicando as opções:
8 times 8 times 7 times 6 = 2688

Resposta

Total de números naturais de 5 dígitos distintos que são múltiplos de 5: 5712.

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