Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R 200,00 de cada sócio Uma pesquisa de mercado indica que a cada Ró 1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 20 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de:
a) R$ 120,00
b) R$ 60,00
c) R$ 140,00
d) R$ 160,00
e) R$ 80,00

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um clube com 800 sócios que pagam R$200,00 de mensalidade cada. A pesquisa mostrou que se a mensalidade baixar R$1,00, 20 novos sócios entram no clube. Nosso objetivo aqui é descobrir qual valor da mensalidade vai trazer a maior receita para o clube.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a receita do clube é o valor que a gente ganha com as mensalidades. Para calcular isso, a gente multiplica o preço que cada sócio paga pela quantidade de sócios. Então, Receita = Preço × Número de Sócios.

Passo 3

Vamos chamar a redução na mensalidade de “x” reais. Ou seja, se a mensalidade diminuir x reais, o novo preço da mensalidade será 200 - x.

Passo 4

Da mesma forma, se a mensalidade diminuir x reais, o número de sócios vai aumentar 20 vezes x. Então, o novo número de sócios será 800 + 20x.

Passo 5

Agora, vamos montar a fórmula da receita com base nessas informações:
Receita = (Preço) times (Número de Sócios) = (200 - x) times (800 + 20x) çúó

Passo 6

Vamos expandir essa expressão:
Receita = 200 times 800 + 200 times 20x - x times 800 - x times 20x
Receita = 160.000 + 4.000x - 800x - 20x^2

Passo 7

Simplificando os termos:
Receita = -20x^2 + 3.200x + 160.000
Essa é uma equação quadrática que representa a receita em função de x.

Passo 8

Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola:
x = -b2a
Aqui, a = -20 e b = 3.200.

Passo 9

Aplicando os valores na fórmula:
x = -3.2002 times (-20)
x = -3.200-40
x = 80
Então, a redução ideal na mensalidade é de R$80,00.

Passo 10

Agora, vamos encontrar o valor da mensalidade que gera a maior receita:
Preço ideal = 200 - x = 200 - 80 = 120 ç

Resposta

A mensalidade que gera a maior receita é de R$ 120,00.

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