Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R
1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 20 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de:
a) R$ 120,00
b) R$ 60,00
c) R$ 140,00
d) R$ 160,00
e) R$ 80,00
a) R$ 120,00
b) R$ 60,00
c) R$ 140,00
d) R$ 160,00
e) R$ 80,00
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um clube com 800 sócios que pagam R$200,00 de mensalidade cada. A pesquisa mostrou que se a mensalidade baixar R$1,00, 20 novos sócios entram no clube. Nosso objetivo aqui é descobrir qual valor da mensalidade vai trazer a maior receita para o clube.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a receita do clube é o valor que a gente ganha com as mensalidades. Para calcular isso, a gente multiplica o preço que cada sócio paga pela quantidade de sócios. Então, Receita = Preço × Número de Sócios.
Passo 3
Vamos chamar a redução na mensalidade de “x” reais. Ou seja, se a mensalidade diminuir x reais, o novo preço da mensalidade será 200 - x.
Passo 4
Da mesma forma, se a mensalidade diminuir x reais, o número de sócios vai aumentar 20 vezes x. Então, o novo número de sócios será 800 + 20x.
Passo 5
Agora, vamos montar a fórmula da receita com base nessas informações:
Passo 6
Vamos expandir essa expressão:
Passo 7
Simplificando os termos:
Essa é uma equação quadrática que representa a receita em função de x.
Passo 8
Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Aqui, a = -20 e b = 3.200.
Passo 9
Aplicando os valores na fórmula:
Então, a redução ideal na mensalidade é de R$80,00.
Passo 10
Agora, vamos encontrar o valor da mensalidade que gera a maior receita:
Resposta
A mensalidade que gera a maior receita é de R$ 120,00.