Quão rápido está variando a distância
quando o foguete está a 1200 m de altura?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber quão rápido está variando a distância
quando o foguete está a 1200 metros de altura. Isso está relacionado com taxas de variação, um conceito da cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e entender como uma quantidade muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a distância
está relacionada com a altura do foguete. Vamos supor que o foguete está subindo verticalmente e que está a uma certa distância horizontal de um ponto de observação no chão. Assim, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias.
Passo 3
Vamos chamar a altura do foguete de
e a distância horizontal do ponto de observação de
. A relação entre elas e a distância
é dada por:
Aqui,
é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde
é um cateto fixo e
é o outro cateto que está variando com o tempo.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
para encontrar como
está mudando no tempo:
Simplificando, temos:
Aqui,
representa a taxa de variação da distância
, e
é a taxa de variação da altura do foguete.
Passo 5
Precisamos dos valores para
,
e
. Sabemos que
metros. Suponhamos que a taxa de subida do foguete (
) seja conhecida, digamos
m/s.
Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Para encontrar
quando
metros, precisamos conhecer a distância horizontal
. Se não for fornecida, podemos deixar a resposta em termos de
. A partir da relação de Pitágoras:
Passo 7
Substituindo
na equação da taxa de variação:
Essa é a taxa de variação da distância
quando o foguete está a 1200 metros de altura.
Resposta
A taxa de variação da distância
quando o foguete está a 1200 metros de altura é:
onde
é a distância horizontal do ponto de observação e
é a velocidade de ascensão do foguete.
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.
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.