Quão rápido está variando a distância quando o foguete está a 1200 m de altura?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber quão rápido está variando a distância quando o foguete está a 1200 metros de altura. Isso está relacionado com taxas de variação, um conceito da cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e entender como uma quantidade muda em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a distância está relacionada com a altura do foguete. Vamos supor que o foguete está subindo verticalmente e que está a uma certa distância horizontal de um ponto de observação no chão. Assim, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias.

Passo 3

Vamos chamar a altura do foguete de e a distância horizontal do ponto de observação de . A relação entre elas e a distância é dada por:
Aqui, é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde é um cateto fixo e é o outro cateto que está variando com o tempo.

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo para encontrar como está mudando no tempo:
Simplificando, temos:
Aqui, representa a taxa de variação da distância , e é a taxa de variação da altura do foguete.

Passo 5

Precisamos dos valores para , e . Sabemos que metros. Suponhamos que a taxa de subida do foguete ( ) seja conhecida, digamos m/s.
Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Para encontrar quando metros, precisamos conhecer a distância horizontal . Se não for fornecida, podemos deixar a resposta em termos de . A partir da relação de Pitágoras:

Passo 7

Substituindo na equação da taxa de variação:
Essa é a taxa de variação da distância quando o foguete está a 1200 metros de altura.

Resposta

A taxa de variação da distância quando o foguete está a 1200 metros de altura é:
onde é a distância horizontal do ponto de observação e é a velocidade de ascensão do foguete.

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