Quatro cargas pontuais têm a mesma magnitude de
e estão fixadas nos cantos de um quadrado com
de lado. Três das cargas são positivas e uma é negativa. Determine a magnitude do campo elétrico líquido que existe no centro do quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro cargas pontuais, cada uma com uma magnitude de
, fixadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede
. Dentre essas cargas, três são positivas e uma é negativa. Nosso objetivo é descobrir qual é a magnitude do campo elétrico líquido no centro desse quadrado.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual e como somar esses campos considerando suas direções. Vamos usar a fórmula do campo elétrico de Coulomb e um pouco de geometria vetorial para somar os campos de cada carga no centro do quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distância entre cada carga e o centro do quadrado. Como o quadrado tem lado de
, podemos usar o teorema de Pitágoras para achar a distância da diagonal e, assim, a distância do centro a cada canto.
A diagonal do quadrado é dada por:
Então, a distância do centro a cada carga é metade da diagonal:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma única carga no centro. A fórmula do campo elétrico de uma carga pontual é:
Onde:
-
é a constante eletrostática, -
é a carga, -
é a distância da carga ao ponto onde queremos calcular o campo.
Substituindo os valores:
Então, o campo elétrico gerado por uma carga no centro do quadrado é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos considerar as direções desses campos. As três cargas positivas vão gerar campos que apontam para longe delas, enquanto a carga negativa gera um campo que aponta em direção à carga.
Porém, como o quadrado é simétrico, os campos das cargas positivas nos cantos opostos vão ter componentes que se cancelam ou somam de forma específica. Vamos analisar isso:
- Duas das cargas positivas estão em posições opostas, então seus campos no centro têm direções opostas e, se simétricas, seus componentes horizontais se cancelam, enquanto os verticais somam.
- A terceira carga positiva e a carga negativa não têm um par simétrico, então seus campos não se cancelam completamente.
Passo 5
Vamos decompor os campos vetoriais em componentes horizontais e verticais. Assumindo que duas cargas positivas estão no canto superior esquerdo e inferior direito, a terceira carga positiva está no canto superior direito, e a carga negativa no canto inferior esquerdo.
Os campos das cargas simétricas (superior esquerdo e inferior direito) terão componentes horizontais que se cancelam e componentes verticais que somam. A carga positiva no canto superior direito terá seu campo apontando para baixo e para a esquerda, enquanto a carga negativa no canto inferior esquerdo terá seu campo apontando para cima e para a direita.
Após calcular as componentes, somamos todas as contribuições vetoriais para encontrar o campo elétrico líquido no centro.
Resposta
Após realizar os cálculos e somar os campos das quatro cargas considerando suas magnitudes e direções, a magnitude do campo elétrico líquido no centro do quadrado é aproximadamente
.