Quatro cargas pontuais têm a mesma magnitude de 2,4 times 10^-12 C e estão fixadas nos cantos de um quadrado com 4,0 cm de lado. Três das cargas são positivas e uma é negativa. Determine a magnitude do campo elétrico líquido que existe no centro do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro cargas pontuais, cada uma com uma magnitude de , fixadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede . Dentre essas cargas, três são positivas e uma é negativa. Nosso objetivo é descobrir qual é a magnitude do campo elétrico líquido no centro desse quadrado.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual e como somar esses campos considerando suas direções. Vamos usar a fórmula do campo elétrico de Coulomb e um pouco de geometria vetorial para somar os campos de cada carga no centro do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância entre cada carga e o centro do quadrado. Como o quadrado tem lado de d = raiz(4,0 , cm)^2 + (4,0 , cm)^2 = raiz32 , cm approx 5,66 , cm , podemos usar o teorema de Pitágoras para achar a distância da diagonal e, assim, a distância do centro a cada canto.
A diagonal do quadrado é dada por:
r = 5,66 , cm2 approx 2,83 , cm = 0,0283 , m
Então, a distância do centro a cada carga é metade da diagonal:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma única carga no centro. A fórmula do campo elétrico de uma carga pontual é:
E = k cdot |q|r^2
Onde:
  • E = 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2 times 2,4 times 10^-12 , C(0,0283 , m)^2 approx 2,1576 times 10^-28,00 times 10^-4 approx 26,97 , kN/C é a constante eletrostática,
  • é a carga,
  • é a distância da carga ao ponto onde queremos calcular o campo.
Substituindo os valores:
Então, o campo elétrico gerado por uma carga no centro do quadrado é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos considerar as direções desses campos. As três cargas positivas vão gerar campos que apontam para longe delas, enquanto a carga negativa gera um campo que aponta em direção à carga.
Porém, como o quadrado é simétrico, os campos das cargas positivas nos cantos opostos vão ter componentes que se cancelam ou somam de forma específica. Vamos analisar isso:
  • Duas das cargas positivas estão em posições opostas, então seus campos no centro têm direções opostas e, se simétricas, seus componentes horizontais se cancelam, enquanto os verticais somam.
  • A terceira carga positiva e a carga negativa não têm um par simétrico, então seus campos não se cancelam completamente.

Passo 5

Vamos decompor os campos vetoriais em componentes horizontais e verticais. Assumindo que duas cargas positivas estão no canto superior esquerdo e inferior direito, a terceira carga positiva está no canto superior direito, e a carga negativa no canto inferior esquerdo.
Os campos das cargas simétricas (superior esquerdo e inferior direito) terão componentes horizontais que se cancelam e componentes verticais que somam. A carga positiva no canto superior direito terá seu campo apontando para baixo e para a esquerda, enquanto a carga negativa no canto inferior esquerdo terá seu campo apontando para cima e para a direita.
Após calcular as componentes, somamos todas as contribuições vetoriais para encontrar o campo elétrico líquido no centro.

Resposta

Após realizar os cálculos e somar os campos das quatro cargas considerando suas magnitudes e direções, a magnitude do campo elétrico líquido no centro do quadrado é aproximadamente .

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