Quatro cargas puntiformes da mesma magnitude estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado
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Determine a expressão do trabalho da força elétrica para deslocar uma carga q , desde o centro do quadrado até o vértice superior esquerdo.
Determine a expressão do trabalho da força elétrica para deslocar uma carga q , desde o centro do quadrado até o vértice superior esquerdo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro cargas iguais espalhadas nos cantos de um quadrado, e precisamos descobrir quanto trabalho a força elétrica faz para mover uma carga $ q $ do centro do quadrado até o vértice superior esquerdo. Vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e energia potencial elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um quadrado com lado $ a $ e uma carga $ q $ no centro. As quatro cargas iguais estão nos vértices. Queremos mover a carga $ q $ do centro até um dos vértices.
Passo 3
Para calcular o trabalho feito pela força elétrica, precisamos encontrar a diferença de energia potencial elétrica entre os dois pontos: o centro e o vértice. A fórmula para a energia potencial elétrica $ U $ entre duas cargas é:
onde:
- $ k $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
- $ Q $ e $ q $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre as cargas.
Passo 4
No centro do quadrado, a distância de cada carga nos vértices até o centro é $ \frac{a}{\sqrt{2}} $, pois usamos o teorema de Pitágoras para a diagonal do quadrado. A energia potencial no centro devido a uma carga é então:
Como há quatro cargas, a energia total no centro é:
Passo 5
No vértice, a carga $ q $ está na mesma posição que uma das cargas $ Q $, então a distância entre elas é zero, o que daria uma energia infinita. Mas na prática, consideramos que a carga $ q $ está muito próxima, então a energia potencial devido a essa carga específica é desprezível. As outras três cargas estão a uma distância de $ a \sqrt{2} $ (diagonal do quadrado). Então, a energia potencial no vértice é:
Passo 6
Agora, o trabalho $ W $ realizado pela força elétrica é a diferença de energia potencial:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{2} $ na primeira fração para simplificar:
Resposta
O trabalho da força elétrica para deslocar a carga $ q $ do centro até o vértice é: