Quatro esferas são amarradas às extemidades de duas barras de massa desprezível em um plano xy para formar um bastão incomum. Vamos supor que os raios das esferas são pequenos comparados com as dimensões das barras. Dados M=0,5 kg ; m=0,2 kg ; a=0,9 m ; b=1 m ; w=1,57 rad / s.
a) Se o sistema gira sobre o eixo y (Figura a), com velocidade angular w, encontre o momento de inércia e a energia cinética rotacional do sistema sobre esse eixo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema formado por duas barras sem massa e quatro esferas presas nas extremidades dessas barras, tudo isso no plano xy. Queremos descobrir duas coisas quando o sistema gira em torno do eixo y com uma certa velocidade angular :
  1. O Momento de Inércia do sistema em relação ao eixo y.
  2. A Energia Cinética Rotacional do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o momento de inércia para várias partículas e depois usar essa informação para achar a energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Momento de Inércia ( I = m times r^2 ). Ele é uma medida de quão difícil é mudar o estado de rotação de um objeto em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é girar o objeto.
Para uma partícula pontual, o momento de inércia em relação a um eixo é dado por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a distância da partícula até o eixo de rotação.
No nosso caso, temos quatro esferas, então vamos calcular o momento de inércia de cada uma e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos identificar as distâncias de cada esfera até o eixo y.
Imagino que as barras formem um cruz no plano xy, com uma barra ao longo do eixo x e outra ao longo do eixo z. Como estamos girando em torno do eixo y, precisamos considerar só as componentes perpendiculares ao y.
As distâncias e são as extensões das barras. Então, as esferas estão a e metros do eixo y.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do momento de inércia para cada esfera:
Para as esferas a I1 = M times a^2 metros do eixo y:
I1 = 0,5 times (0,9)^2 = 0,5 times 0,81 = 0,405 , kg cdot m^2
Com I2 = m times b^2 e I2 = 0,2 times (1)^2 = 0,2 times 1 = 0,2 , kg cdot m^2 :
Itotal = 2 times I1 + 2 times I2 = 2 times 0,405 + 2 times 0,2 = 0,81 + 0,4 = 1,21 , kg cdot m^2
Para as esferas a metros do eixo y:
Com e :
Como temos duas esferas em cada distância ( e ), multiplicamos cada por 2:

Passo 5

Agora vamos calcular a Energia Cinética Rotacional ( Ek = 12 I omega^2 ). A fórmula para isso é:
Ek = 12 times 1,21 times (1,57)^2
onde:
  • (1,57)^2 approx 2,4649 é o momento de inércia que acabamos de calcular,
  • Ek = 0,5 times 1,21 times 2,4649 approx 0,5 times 1,21 times 2,4649 approx 1,491 , J é a velocidade angular.
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos :
Então:

Resposta

  • Momento de Inércia ( ):
  • Energia Cinética Rotacional ( ):

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