Um disco, um anel e uma esfera maciça de mesma massa M e mesmo raio R descem rolando ao longo de um plano inclinado de um angulo q em relação a horizontal. Qual chegará ao final do plano inclinado com maior velocidade? Justifique determinando a velocidade final em um dos casos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem três objetos rolando por um plano inclinado: um disco, um anel e uma esfera maciça. Todos têm a mesma massa e o mesmo raio , e o plano está inclinado num ângulo em relação à horizontal. O que a gente precisa descobrir é qual desses objetos chega ao final do plano com a maior velocidade. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética e momentos de inércia de cada objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando um objeto rola sem deslizar, sua energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética de translação e de rotação. A energia total no final é:
mgh = 12mv^2 + 12Iomega^2
Aqui, é a energia potencial inicial, é a energia cinética de translação, e é a energia cinética de rotação. é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que mgh = 12mv^2 + 12I(vR)^2 , já que o objeto está rolando sem deslizar. Substituindo isso na equação de energia, temos:
mgh = 12mv^2 + 12IR^2v^2
Simplificando:
mgh = 12v^2 (m + IR^2)
Fatorando :

Passo 4

Agora, isolamos v^2 = 2mghm + IR^2 :
v = raiz2mghm + IR^2
E tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Passo 5

Precisamos dos momentos de inércia para cada objeto:
  • Disco:
  • Anel:
  • Esfera:
Vamos substituir esses valores na equação de para cada objeto.

Passo 6

Vamos calcular a velocidade final para a esfera, por exemplo:
Substituindo v = raiz2mghm + 25mR^2R^2 = raiz2mghm + 25m = raiz2mgh75m = raiz10gh7 :

Passo 7

Portanto, a velocidade final da esfera é:
v = raiz10gh7

Resposta

A esfera maciça chega ao final do plano inclinado com a maior velocidade. A velocidade final da esfera é:
v = raiz10gh7

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