Um disco, um anel e uma esfera maciça de mesma massa
e mesmo raio
descem rolando ao longo de um plano inclinado de um angulo q em relação a horizontal. Qual chegará ao final do plano inclinado com maior velocidade? Justifique determinando a velocidade final em um dos casos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem três objetos rolando por um plano inclinado: um disco, um anel e uma esfera maciça. Todos têm a mesma massa
e o mesmo raio
, e o plano está inclinado num ângulo
em relação à horizontal. O que a gente precisa descobrir é qual desses objetos chega ao final do plano com a maior velocidade. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética e momentos de inércia de cada objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando um objeto rola sem deslizar, sua energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética de translação e de rotação. A energia total no final é:
Aqui,
é a energia potencial inicial,
é a energia cinética de translação, e
é a energia cinética de rotação.
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que
, já que o objeto está rolando sem deslizar. Substituindo isso na equação de energia, temos:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
E tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 5
Precisamos dos momentos de inércia para cada objeto:
- Disco:
- Anel:
- Esfera:
Vamos substituir esses valores na equação de
para cada objeto.
Passo 6
Vamos calcular a velocidade final para a esfera, por exemplo:
Substituindo
:
Passo 7
Portanto, a velocidade final da esfera é:
Resposta
A esfera maciça chega ao final do plano inclinado com a maior velocidade. A velocidade final da esfera é: