Quatro partículas, duas de massas
e duas de massas
, encontram-se rigidamente fixas nos vértices de um quadrado de lado
. As partículas de mesma massa encontram-se em vértices opostos. O quadrado gira com velocidade angular
em torno de um dos lados. Calcule a energia cinética de rotação do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve física de rotação. Imagina um quadrado com lado de comprimento
, onde duas esquinas têm partículas de massa
e as outras duas têm massa
. Esse quadrado está girando com uma velocidade angular
em torno de um dos lados. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética de rotação desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia de uma partícula é:
onde
é a massa da partícula e
é a distância dela ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos identificar as massas e suas distâncias ao eixo de rotação. O quadrado está girando em torno de um de seus lados. Isso significa que as duas partículas no lado do eixo têm distância
(já que estão no próprio eixo) e as duas partículas opostas têm dist��ncia igual à diagonal do quadrado dividido por 2.
Passo 4
A diagonal do quadrado pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:
Mas como cada partícula está a metade dessa distância do eixo, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia para cada partícula de massa
e
. Como as partículas no eixo têm
, elas não contribuem para o momento de inércia. Portanto, apenas as partículas opostas contam:
Para cada massa :
Para cada massa
E para cada massa
:
Passo 6
Como temos duas massas
e duas massas
, o momento de inércia total
é a soma dos momentos individuais:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Substituindo o momento de inércia que encontramos:
Resposta
A energia cinética de rotação do sistema é:
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Discuta as analogias e diferenças entre as leis de: b) Gauss e Ampère
Um raio vetor de comprimento
, restrito ao plano
, gira com velocidade angular inicial
e aceleração angular
, a qual é constante. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a zero, encontre os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração, em função de
e
(note que
e
podem ter qualquer sinal e isso indicará o sentido do vetor). Em
, quais são estes vetores se
,
?
Uma partícula de massa
desliza livremente sobre o eixo
com velocidade
(cujo sinal nos dá o sentido da velocidade em relação ao eixo). Calcule o vetor momento angular da partícula, em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas ;
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas
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, onde
e
são constantes. Qual o torque resultante sobre a partícula em relação à origem?