Quatro partículas, duas de massas m e duas de massas M, encontram-se rigidamente fixas nos vértices de um quadrado de lado a. As partículas de mesma massa encontram-se em vértices opostos. O quadrado gira com velocidade angular omega em torno de um dos lados. Calcule a energia cinética de rotação do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve física de rotação. Imagina um quadrado com lado de comprimento a, onde duas esquinas têm partículas de massa m e as outras duas têm massa M. Esse quadrado está girando com uma velocidade angular omega em torno de um dos lados. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética de rotação desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia de uma partícula é:
I = m cdot r^2
onde m é a massa da partícula e r é a distância dela ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos identificar as massas e suas distâncias ao eixo de rotação. O quadrado está girando em torno de um de seus lados. Isso significa que as duas partículas no lado do eixo têm distância r = 0 (já que estão no próprio eixo) e as duas partículas opostas têm dist��ncia igual à diagonal do quadrado dividido por 2.

Passo 4

A diagonal do quadrado pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:
d = a raiz2
Mas como cada partícula está a metade dessa distância do eixo, temos:
r = d2 = a raiz22 = araiz2

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia para cada partícula de massa m e M. Como as partículas no eixo têm r = 0, elas não contribuem para o momento de inércia. Portanto, apenas as partículas opostas contam:
Para cada massa m:
Im = m cdot (araiz2)^2 = m cdot a^22
E para cada massa M:
IM = M cdot (araiz2)^2 = M cdot a^22

Passo 6

Como temos duas massas m e duas massas M, o momento de inércia total Itotal é a soma dos momentos individuais:
Itotal = 2Im + 2IM = 2 cdot m a^22 + 2 cdot M a^22 = m a^2 + M a^2
Simplificando:
Itotal = (m + M) a^2

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Ecin = 12 I omega^2
Substituindo o momento de inércia que encontramos:
Ecin = 12 (m + M) a^2 omega^2

Resposta

A energia cinética de rotação do sistema é:
Ecin = 12 (m + M) a^2 omega^2

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