Quatro partículas, duas de massas e duas de massas , encontram-se rigidamente fixas nos vértices de um quadrado de lado . As partículas de mesma massa encontram-se em vértices opostos. O quadrado gira com velocidade angular em torno de um dos lados. Calcule a energia cinética de rotação do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve física de rotação. Imagina um quadrado com lado de comprimento , onde duas esquinas têm partículas de massa e as outras duas têm massa . Esse quadrado está girando com uma velocidade angular em torno de um dos lados. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética de rotação desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia de uma partícula é:
onde é a massa da partícula e é a distância dela ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos identificar as massas e suas distâncias ao eixo de rotação. O quadrado está girando em torno de um de seus lados. Isso significa que as duas partículas no lado do eixo têm distância (já que estão no próprio eixo) e as duas partículas opostas têm dist��ncia igual à diagonal do quadrado dividido por 2.

Passo 4

A diagonal do quadrado pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:
Mas como cada partícula está a metade dessa distância do eixo, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia para cada partícula de massa e . Como as partículas no eixo têm , elas não contribuem para o momento de inércia. Portanto, apenas as partículas opostas contam:
Para cada massa :
E para cada massa :

Passo 6

Como temos duas massas e duas massas , o momento de inércia total é a soma dos momentos individuais:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Substituindo o momento de inércia que encontramos:

Resposta

A energia cinética de rotação do sistema é:

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