Uma partícula de massa 1 kg possui vetor posição , onde e são constantes. Qual o torque resultante sobre a partícula em relação à origem?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 1 kg que se move de acordo com o vetor posição , onde , e são constantes. Queremos descobrir qual é o torque resultante sobre essa partícula em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar a força e, em seguida, aplicar a definição de torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição e a força :
Para encontrar a força, precisamos conhecer a aceleração da partícula. A massa da partícula é conhecida ( ), e sabemos que a força é dada pela segunda lei de Newton:
Então, nosso próximo passo é encontrar a aceleração .

Passo 3

A aceleração é a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo . Vamos derivar duas vezes para encontrar :
Primeira derivada (velocidade ):
Segunda derivada (aceleração ):

Passo 4

Agora que temos a aceleração, podemos calcular a força usando a segunda lei de Newton:

Passo 5

Com o vetor posição e a força determinados, podemos calcular o torque usando o produto vetorial:
Vamos calcular cada componente:
Sabemos que , então a segunda termo desaparece. Calculando os outros:
Então, o torque total é:

Resposta

O torque resultante sobre a partícula em relação à origem é:

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a) Origem;
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