Uma partícula de massa 1 kg possui vetor posição
, onde
e
são constantes. Qual o torque resultante sobre a partícula em relação à origem?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 1 kg que se move de acordo com o vetor posição
, onde
,
e
são constantes. Queremos descobrir qual é o torque resultante sobre essa partícula em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar a força e, em seguida, aplicar a definição de torque.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o torque
é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição
e a força
:
Para encontrar a força, precisamos conhecer a aceleração da partícula. A massa da partícula é conhecida (
), e sabemos que a força é dada pela segunda lei de Newton:
Então, nosso próximo passo é encontrar a aceleração
.
Passo 3
A aceleração
é a segunda derivada do vetor posição
em relação ao tempo
. Vamos derivar
duas vezes para encontrar
:
Primeira derivada (velocidade
):
Segunda derivada (aceleração
):
Passo 4
Agora que temos a aceleração, podemos calcular a força usando a segunda lei de Newton:
Passo 5
Com o vetor posição
e a força
determinados, podemos calcular o torque
usando o produto vetorial:
Vamos calcular cada componente:
Sabemos que
, então a segunda termo desaparece. Calculando os outros:
Então, o torque total é:
Resposta
O torque resultante sobre a partícula em relação à origem é: