Uma partícula de massa 1 kg possui vetor posição r=a i+b t^2 j+c k, onde a, b e c são constantes. Qual o torque resultante sobre a partícula em relação à origem?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 1 kg que se move de acordo com o vetor posição , onde , e são constantes. Queremos descobrir qual é o torque resultante sobre essa partícula em relação à origem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar a força e, em seguida, aplicar a definição de torque.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque tau = r times F é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição F = m,a e a força :
Para encontrar a força, precisamos conhecer a aceleração da partícula. A massa da partícula é conhecida ( ), e sabemos que a força é dada pela segunda lei de Newton:
Então, nosso próximo passo é encontrar a aceleração .

Passo 3

A aceleração v = drdt = ddt(a,i + b,t^2,j + c,k) = 0,i + 2b,t,j + 0,k = 2b,t,j é a segunda derivada do vetor posição a = dvdt = ddt(2b,t,j) = 0,i + 2b,j + 0,k = 2b,j em relação ao tempo . Vamos derivar duas vezes para encontrar :
Primeira derivada (velocidade ):
Segunda derivada (aceleração ):

Passo 4

Agora que temos a aceleração, podemos calcular a força usando a segunda lei de Newton:
F = m,a = 1,kg times 2b,j = 2b,j,N

Passo 5

Com o vetor posição tau = r times F = (a,i + b,t^2,j + c,k) times (2b,j) e a força tau = a,i times 2b,j + b,t^2,j times 2b,j + c,k times 2b,j determinados, podemos calcular o torque a,i times 2b,j = 2ab,k usando o produto vetorial:
c,k times 2b,j = -2bc,i
Vamos calcular cada componente:
tau = -2bc,i + 2ab,k
Sabemos que , então a segunda termo desaparece. Calculando os outros:
Então, o torque total é:

Resposta

O torque resultante sobre a partícula em relação à origem é:
tau = -2bc,i + 2ab,k , N·m

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