Quatro partículas de massa
estão situadas nos vértices de um tetraedro regular cuja aresta mede
. Qual a intensidade da força gravitacional exercida sobre uma das partículas pelas outras três?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem quatro partículas, cada uma com massa
, posicionadas nos vértices de um tetraedro regular. A aresta desse tetraedro tem comprimento
. A pergunta é: qual é a intensidade da força gravitacional que atua sobre uma dessas partículas devido às outras três? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de geometria do tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional, -
e são as massas das partículas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Passo 3
No nosso caso, cada uma das outras três partículas tem massa
e está a uma distância
da partícula em questão (já que todas as arestas do tetraedro têm o mesmo comprimento
). Então, a força gravitacional entre a partícula em foco e cada uma das outras três é:
Passo 4
Mas essas forças não estão todas na mesma direção; elas estão direcionadas para os vértices do tetraedro. Precisamos somar vetorialmente essas forças. Devido à simetria do tetraedro, todos os ângulos entre as forças são iguais. O ângulo entre duas arestas de um tetraedro regular é dado por
.
Passo 5
Para somar essas forças, vamos considerar que elas formam um ângulo de
entre si (que é aproximadamente o ângulo entre as arestas de um tetraedro regular). Usando a regra de adição de vetores, a força resultante pode ser calculada multiplicando a força individual por
.
Então, a força resultante
é:
Resposta
A intensidade da força gravitacional exercida sobre uma das partículas pelas outras três é: