Quatro partículas de massa m estão situadas nos vértices de um tetraedro regular cuja aresta mede a. Qual a intensidade da força gravitacional exercida sobre uma das partículas pelas outras três?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro partículas, cada uma com massa m, posicionadas nos vértices de um tetraedro regular. A aresta desse tetraedro tem comprimento a. A pergunta é: qual é a intensidade da força gravitacional que atua sobre uma dessas partículas devido às outras três? Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e um pouco de geometria do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal. Ela diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
F = G m1 m2r^2
onde:
  • F é a força gravitacional,
  • G é a constante gravitacional,
  • m1 e m2 são as massas das partículas,
  • r é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

No nosso caso, cada uma das outras três partículas tem massa m e está a uma distância a da partícula em questão (já que todas as arestas do tetraedro têm o mesmo comprimento a). Então, a força gravitacional entre a partícula em foco e cada uma das outras três é:
Fi = G m cdot ma^2 = G m^2a^2

Passo 4

Mas essas forças não estão todas na mesma direção; elas estão direcionadas para os vértices do tetraedro. Precisamos somar vetorialmente essas forças. Devido à simetria do tetraedro, todos os ângulos entre as forças são iguais. O ângulo entre duas arestas de um tetraedro regular é dado por arccos(-13).

Passo 5

Para somar essas forças, vamos considerar que elas formam um ângulo de 109,47^circ entre si (que é aproximadamente o ângulo entre as arestas de um tetraedro regular). Usando a regra de adição de vetores, a força resultante pode ser calculada multiplicando a força individual por raiz3.
Então, a força resultante Ftotal é:
Ftotal = raiz3 cdot Fi = raiz3 cdot G m^2a^2

Resposta

A intensidade da força gravitacional exercida sobre uma das partículas pelas outras três é:
Ftotal = raiz3 cdot G m^2a^2

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