Uma partícula de massa m move-se ao longo da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
A aceleração da partícula é paralela ao eixo y. Quando t=0, as coordenadas da partícula são (0, b) e sua velocidade escalar é v0.
(a) Determine a velocidade horizontal da partícula em um tempo t.
(b) Use derivação implícita para calcular a velocidade vertical da partícula em função de v0, x e y.
© Use derivação implícita para calcular a aceleração vertical da partícula em função de v0 e y.
(d) Determine a intensidade da força que age sob a partícula em cada ponto de sua trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve uma partícula de massa $ m $ que se move ao longo de uma elipse dada pela equação
m
A aceleração da partícula é paralela ao eixo $ y $, e no instante $ t = 0 $, a partícula está na posição $ (0, b) $ com velocidade inicial $ v_{0} $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de derivação implícita, para resolver as partes (a), (b), © e (d) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Determinar a velocidade horizontal da partícula em um tempo $ t $.
Primeiro, precisamos entender que a velocidade horizontal $ v_x $ é a derivada de $ x $ em relação ao tempo, ou seja:
t
Como a partícula está se movendo ao longo da elipse, vamos diferenciar a equação da elipse em relação ao tempo para relacionar as velocidades $ v_x $ e $ v_y $.
Derivando a equação da elipse:
vx
Simplificando:
x
Isolando $ v_x $:
vx = dxdt
Mas precisamos expressar $ v_x $ em função do tempo $ t vx t = 0 $), a partícula está em $ (0, b) $ com velocidade $ v_{0} $ na direção horizontal (já que y não muda inicialmente). Portanto, podemos considerar que $ v_x $ permanece constante ao longo da trajetória, já que a aceleração é apenas na direção $ y $.
Assim, a velocidade horizontal $ v_x $ é constante e igual a $ v_{0} $.

Passo 3

Parte (b): Usar derivação implícita para calcular a velocidade vertical da partícula em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $.
Vamos voltar à equação que relaciona $ v_x $ e $ v_y $:
v0
Isolando $ v_y $:
x
Sabemos que $ v_x = v_{0} $, então:
y
Então, a velocidade vertical $ v_y $ em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $ é:
vx

Passo 4

Parte ©: Usar derivação implícita para calcular a aceleração vertical da partícula em função de $ v_{0} $ e $ y $.
A aceleração vertical $ a_y $ é a derivada da velocidade vertical $ v_y $ em relação ao tempo:
v0
Usando a expressão obtida para $ v_y $:
y
Vamos derivar isso em relação ao tempo:
ay
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = v_x = v_{0} $ e $ \frac{dy}{dt} = v_y $. Substituindo:
vy
Simplificando:
ay = dvydt
No entanto, como a aceleração é paralela ao eixo $ y $, a segunda parte que envolve $ x^{2} $ pode ser negligenciada, deixando:
vy

Passo 5

Parte (d): Determinar a intensidade da força que age sob a partícula em cada ponto de sua trajetória.
A força total $ \vec{F} $ que age na partícula é dada pela segunda lei de Newton:
F
onde $ \vec{a} $ é a aceleração da partícula.
Sabemos que a aceleração tem apenas componente vertical $ a_y $, então:
F = m a,
Substituindo $ a_y $ da parte ©:
a
A intensidade da força é:
ay
Então, a força que age na partícula em cada ponto da trajetória é:
F = m ay j

Resposta

Resumindo:
a) A velocidade horizontal da partícula em qualquer tempo $ t $ é constante e igual a $ v_{0} $.
b) A velocidade vertical da partícula em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $ é:
t
c) A aceleração vertical da partícula em função de $ v_{0} $ e $ y $ é:
v0
d) A intensidade da força que age sobre a partícula em cada ponto de sua trajetória é:
v0

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