Uma partícula de massa
move-se ao longo da elipse
A aceleração da partícula é paralela ao eixo
. Quando
, as coordenadas da partícula são
e sua velocidade escalar é
.
(a) Determine a velocidade horizontal da partícula em um tempo
.
(b) Use derivação implícita para calcular a velocidade vertical da partícula em função de
e
.
© Use derivação implícita para calcular a aceleração vertical da partícula em função de
e
.
(d) Determine a intensidade da força que age sob a partícula em cada ponto de sua trajetória.
(a) Determine a velocidade horizontal da partícula em um tempo
(b) Use derivação implícita para calcular a velocidade vertical da partícula em função de
© Use derivação implícita para calcular a aceleração vertical da partícula em função de
(d) Determine a intensidade da força que age sob a partícula em cada ponto de sua trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve uma partícula de massa $ m $ que se move ao longo de uma elipse dada pela equação
A aceleração da partícula é paralela ao eixo $ y $, e no instante $ t = 0 $, a partícula está na posição $ (0, b) $ com velocidade inicial $ v_{0} $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de derivação implícita, para resolver as partes (a), (b), © e (d) do exercício.
Passo 2
Parte (a): Determinar a velocidade horizontal da partícula em um tempo $ t $.
Primeiro, precisamos entender que a velocidade horizontal $ v_x $ é a derivada de $ x $ em relação ao tempo, ou seja:
Como a partícula está se movendo ao longo da elipse, vamos diferenciar a equação da elipse em relação ao tempo para relacionar as velocidades $ v_x $ e $ v_y $.
Derivando a equação da elipse:
Simplificando:
Isolando $ v_x $:
Mas precisamos expressar $ v_x $ em função do tempo $ t
t = 0 $), a partícula está em $ (0, b) $ com velocidade $ v_{0} $ na direção horizontal (já que y não muda inicialmente). Portanto, podemos considerar que $ v_x $ permanece constante ao longo da trajetória, já que a aceleração é apenas na direção $ y $.
Assim, a velocidade horizontal $ v_x $ é constante e igual a $ v_{0} $.
Passo 3
Parte (b): Usar derivação implícita para calcular a velocidade vertical da partícula em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $.
Vamos voltar à equação que relaciona $ v_x $ e $ v_y $:
Isolando $ v_y $:
Sabemos que $ v_x = v_{0} $, então:
Então, a velocidade vertical $ v_y $ em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $ é:
Passo 4
Parte ©: Usar derivação implícita para calcular a aceleração vertical da partícula em função de $ v_{0} $ e $ y $.
A aceleração vertical $ a_y $ é a derivada da velocidade vertical $ v_y $ em relação ao tempo:
Usando a expressão obtida para $ v_y $:
Vamos derivar isso em relação ao tempo:
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = v_x = v_{0} $ e $ \frac{dy}{dt} = v_y $. Substituindo:
Simplificando:
No entanto, como a aceleração é paralela ao eixo $ y $, a segunda parte que envolve $ x^{2} $ pode ser negligenciada, deixando:
Passo 5
Parte (d): Determinar a intensidade da força que age sob a partícula em cada ponto de sua trajetória.
A força total $ \vec{F} $ que age na partícula é dada pela segunda lei de Newton:
onde $ \vec{a} $ é a aceleração da partícula.
Sabemos que a aceleração tem apenas componente vertical $ a_y $, então:
Substituindo $ a_y $ da parte ©:
A intensidade da força é:
Então, a força que age na partícula em cada ponto da trajetória é:
Resposta
Resumindo:
a) A velocidade horizontal da partícula em qualquer tempo $ t $ é constante e igual a $ v_{0} $.
b) A velocidade vertical da partícula em função de $ v_{0} $, $ x $ e $ y $ é:
c) A aceleração vertical da partícula em função de $ v_{0} $ e $ y $ é:
d) A intensidade da força que age sobre a partícula em cada ponto de sua trajetória é: