Quatro tanques A, B, C e D estão cheios com gases perfeitos monoatômicos. Para cada tanque, a massa de um átomo individual e a velocidade rms dos átomos estão expressas em termos de merms, respectivamente (veja a tabela). Suponha que m=3,32 times 10^-26 kg erms=1223 m / s. Determine a temperatura do gás em cada tanque.
A B C D
Massa m m 2 m 2 m
Velocidaderms v rms 2 v rms v rms 2 v rms

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos quatro tanques, A, B, C e D, cheios com gases perfeitos monoatômicos. Para cada tanque, sabemos a massa de um átomo e a velocidade rms (velocidade quadrática média) dos átomos, todas dadas em termos de e . Nossa missão é determinar a temperatura do gás em cada um desses tanques. Para isso, vamos precisar usar a relação entre a velocidade rms dos átomos e a temperatura do gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona a velocidade rms dos átomos em um gás perfeito monoatômico com a temperatura do gás. A equação é:
vrms = raiz3kTm
Aqui:
  • é a velocidade quadrática média dos átomos,
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura do gás,
  • é a massa de um átomo.

Passo 3

Nos interessa encontrar a temperatura T = m cdot vrms^23k , então vamos rearranjar a fórmula para isolá-la. Elevando ambos os lados ao quadrado e rearranjando, temos:
Agora, vamos usar essa fórmula para calcular a temperatura em cada tanque, substituindo os valores de e conforme a tabela fornecida.

Passo 4

Vamos calcular a temperatura para cada tanque:
  • Tanque A:
    • Massa: TA = m cdot vrms^23k
    • Velocidade rms: TB = m cdot (2vrms)^23k = 4m cdot vrms^23k = 4TA
    • Temperatura: TC = 2m cdot vrms^23k = 2TA
  • Tanque B:
    • Massa: TD = 2m cdot (2vrms)^23k = 8m cdot vrms^23k = 8TA
    • Velocidade rms:
    • Temperatura:
  • Tanque C:
    • Massa:
    • Velocidade rms:
    • Temperatura:
  • Tanque D:
    • Massa:
    • Velocidade rms:
    • Temperatura:

Passo 5

Agora, vamos calcular TA = 3,32 times 10^-26 , kg cdot (1223 , m/s)^23 cdot 1,38 times 10^-23 , J/K usando os valores fornecidos:
  • Massa TA = 3,32 times 10^-26 cdot 1,495 times 10^64,14 times 10^-23 approx 4,957 times 10^-204,14 times 10^-23 approx 1,195 times 10^3 , K
  • Velocidade rms TA approx 1,195 times 10^3 , K
  • Constante de Boltzmann
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Então:
Agora, usando as relações encontradas anteriormente:

Resposta

As temperaturas dos gases em cada tanque são:
  • Tanque A:
  • Tanque B:
  • Tanque C:
  • Tanque D:

Exercícios relacionados