Se (A, B) um representante de u neq 0 e (C, D) um representante de v neq 0. Prove que A B / / C D se, e somente se, existe lambda in R tal que U=lambda V.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores não nulos representados por (A, B) e (C, D). A pergunta quer que a gente prove que os segmentos de reta AB e CD são paralelos se, e somente se, existe um número real lambda tal que o vetor U é igual a lambda vezes o vetor V. Vamos usar conceitos de vetores e paralelismo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Matematicamente, isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número real). Ou seja, U = lambda V, onde lambda é um número real.

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores U e V em termos das coordenadas dadas. Se (A, B) representa o vetor U, então U = A B . Da mesma forma, se (C, D) representa o vetor V, então V = C D .

Passo 4

Para provar a implicação “se e somente se”, precisamos mostrar as duas direções:
  1. Primeira direção: Se AB / / CD, então existe lambda tal que U = lambda V.
  2. Segunda direção: Se existe lambda tal que U = lambda V, então AB / / CD.
Vamos começar com a primeira direção.

Passo 5

Primeira direção: Suponha que AB seja paralelo a CD, ou seja, AB / / CD. Então, pelos conceitos de vetores paralelos, existe um escalar lambda tal que U = lambda V. Isso é exatamente o que queríamos provar para essa direção.

Passo 6

Segunda direção: Agora, suponha que existe um escalar lambda tal que U = lambda V. Vamos mostrar que isso implica que AB é paralelo a CD.
Substituindo U e V pelas suas coordenadas, temos:
A B = lambda C D
Isso resulta nas equações:
A = lambda C B = lambda D

Passo 7

Essas equações mostram que os componentes de U são múltiplos dos componentes de V pelo mesmo escalar lambda. Isso significa que U e V têm a mesma direção ou direções opostas, ou seja, os vetores são paralelos. Portanto, AB / / CD.

Resposta

Concluímos que os segmentos de reta AB e CD são paralelos se, e somente se, existe um número real lambda tal que U = lambda V.

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