Se
um representante de
e
um representante de
. Prove que
se, e somente se, existe
tal que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores não nulos representados por
e
. A pergunta quer que a gente prove que os segmentos de reta
e
são paralelos se, e somente se, existe um número real
tal que o vetor
é igual a
vezes o vetor
. Vamos usar conceitos de vetores e paralelismo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Dois vetores são paralelos se eles têm a mesma direção ou direções opostas. Matematicamente, isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar (um número real). Ou seja,
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores
e
em termos das coordenadas dadas. Se
representa o vetor
, então
. Da mesma forma, se
representa o vetor
, então
.
Passo 4
Para provar a implicação “se e somente se”, precisamos mostrar as duas direções:
- Primeira direção: Se
, então existe tal que . - Segunda direção: Se existe
tal que , então .
Vamos começar com a primeira direção.
Passo 5
Primeira direção: Suponha que
seja paralelo a
, ou seja,
. Então, pelos conceitos de vetores paralelos, existe um escalar
tal que
. Isso é exatamente o que queríamos provar para essa direção.
Passo 6
Segunda direção: Agora, suponha que existe um escalar
tal que
. Vamos mostrar que isso implica que
é paralelo a
.
Substituindo
e
pelas suas coordenadas, temos:
Isso resulta nas equações:
Passo 7
Essas equações mostram que os componentes de
são múltiplos dos componentes de
pelo mesmo escalar
. Isso significa que
e
têm a mesma direção ou direções opostas, ou seja, os vetores são paralelos. Portanto,
.
Resposta
Concluímos que os segmentos de reta
e
são paralelos se, e somente se, existe um número real
tal que
.