Questão 2) (10pts) Considere os pontos A=(-1,-1,1), B=(2,1,1), C=(1,3,3), D=(0,1,2) e E=(2,1,0) no espaço. Verifique que:
b) D in PiA B C

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para verificar se o ponto está no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores. Para isso, vamos precisar usar vetores e a equação geral de um plano no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto está no plano . Basicamente, se está nesse plano, então ele satisfaz a equação que define o plano formado por , e .

Passo 3

Para encontrar a equação do plano AB = B - A = (2 - (-1), 1 - (-1), 1 - 1) = (3, 2, 0) , precisamos de dois vetores que estejam nesse plano. Vamos usar os vetores AC = C - A = (1 - (-1), 3 - (-1), 3 - 1) = (2, 4, 2) e . Calculando esses vetores:

Passo 4

Com os vetores n = AB times AC = i & j & k 3 & 2 & 0 2 & 4 & 2 = (4 cdot 0 - 2 cdot 2)i - (3 cdot 0 - 2 cdot 2)j + (3 cdot 4 - 2 cdot 2)k = (-4, 4, 8) e n = (-1, 1, 2) , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 4:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal -1(x + 1) + 1(y + 1) + 2(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação do plano usando o ponto - x - 1 + y + 1 + 2z - 2 = 0 :
- x + y + 2z - 2 = 0
x - y - 2z + 2 = 0
x - y - 2z + 2 = 0
Então, a equação do plano é:

Passo 6

Para verificar se o ponto 0 - 1 - 2(2) + 2 = 0 está no plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano:
0 - 1 - 4 + 2 = -3 neq 0
Como a equação não é satisfeita, não está no plano .

Resposta

O ponto não pertence ao plano .

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