Questão 2) (10pts) Considere os pontos e no espaço. Verifique que:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para verificar se o ponto está no plano formado pelos pontos , e . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores. Para isso, vamos precisar usar vetores e a equação geral de um plano no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto está no plano . Basicamente, se está nesse plano, então ele satisfaz a equação que define o plano formado por , e .
Passo 3
Para encontrar a equação do plano , precisamos de dois vetores que estejam nesse plano. Vamos usar os vetores e . Calculando esses vetores:
Passo 4
Com os vetores e , podemos encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 4:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal -1(x + 1) + 1(y + 1) + 2(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação do plano usando o ponto - x - 1 + y + 1 + 2z - 2 = 0 :
- x + y + 2z - 2 = 0
x - y - 2z + 2 = 0
x - y - 2z + 2 = 0
Então, a equação do plano é:
Passo 6
Para verificar se o ponto 0 - 1 - 2(2) + 2 = 0 está no plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano:
0 - 1 - 4 + 2 = -3 neq 0
Como a equação não é satisfeita, não está no plano .