Questäo 4)(8pts) Determine o plano Pi que passa por A=(1,2,3) e contém a reta r: P=(2,1,9)+t(0,2,4), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, queremos encontrar o plano que passa pelo ponto e que contém a reta . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano sabendo um ponto que ele passa e uma reta que está contida nele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde AP = P - A = (2 - 1, 1 - 2, 9 - 3) = (1, -1, 6) é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal . Para isso, precisamos de duas direções dentro do plano. Uma direção vem da reta , que está contida no plano. A direção dessa reta é o vetor diretor .
A segunda direção pode ser obtida conectando o ponto com um ponto qualquer da reta . Vamos escolher, por simplicidade, o ponto quando . O vetor que conecta a é:
Agora temos dois vetores dentro do plano: e .

Passo 3

Para encontrar o vetor normal n = v times AP ao plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores dentro do plano:
n = i & j & k 0 & 2 & 4 1 & -1 & 6 = i(2 cdot 6 - 4 cdot (-1)) - j(0 cdot 6 - 4 cdot 1) + k(0 cdot (-1) - 2 cdot 1)
Calculando o produto vetorial:
n = i(12 + 4) - j(0 - 4) + k(0 - 2) = i(16) + j(4) - k(2)
Então, o vetor normal é .
Podemos simplificar dividindo por 2: .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal 8(x - 1) + 2(y - 2) - 1(z - 3) = 0 e um ponto 8x - 8 + 2y - 4 - z + 3 = 0 que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano usando a fórmula mencionada no Passo 2:
8x + 2y - z - 9 = 0
Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano 8x + 2y - z - 9 = 0 é:

Exercícios relacionados