Questäo 4)(8pts) Determine o plano que passa por e contém a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, queremos encontrar o plano que passa pelo ponto e que contém a reta . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano sabendo um ponto que ele passa e uma reta que está contida nele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal . Para isso, precisamos de duas direções dentro do plano. Uma direção vem da reta , que está contida no plano. A direção dessa reta é o vetor diretor .
A segunda direção pode ser obtida conectando o ponto com um ponto qualquer da reta . Vamos escolher, por simplicidade, o ponto quando . O vetor que conecta a é:
Agora temos dois vetores dentro do plano: e .
Passo 3
Para encontrar o vetor normal ao plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores dentro do plano:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .
Podemos simplificar dividindo por 2: .
Passo 4
Agora que temos o vetor normal 8(x - 1) + 2(y - 2) - 1(z - 3) = 0 e um ponto 8x - 8 + 2y - 4 - z + 3 = 0 que pertence ao plano, podemos escrever a equação do plano usando a fórmula mencionada no Passo 2: