Questão 3 )(7 pts) Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,1,2) e é gerada pelo vetor v=A B,onde B=(4,3,5). Qual dos pontos C=(-1,3,4) ou D=(1,-3,-4) pertencem à reta r ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e é dirigida pelo vetor , onde . Além disso, precisamos verificar qual dos pontos ou está na reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e equações paramétricas de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v = B - A = (4-3, , 3-1, , 5-2) = (1, , 2, , 3) . Isso significa calcular as diferenças das coordenadas de e :

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + vx t y = y0 + vy t z = z0 + vz t e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta . As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto da reta e são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Substituindo os valores de x = 3 + 1 cdot t = 3 + t y = 1 + 2 cdot t = 1 + 2t z = 2 + 3 cdot t = 2 + 3t e x = 3 + t y = 1 + 2t z = 2 + 3t nas equações, temos:
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 5

Agora, vamos verificar qual dos pontos -1 = 3 + t 3 = 1 + 2t 4 = 2 + 3t ou 1 = 3 + t -3 = 1 + 2t -4 = 2 + 3t pertence à reta . Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e verificamos se existe um valor de que satisfaz todas as três equações simultaneamente.
Primeiro, vamos testar o ponto :
Resolvendo a primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: , o que não é verdadeiro. Portanto, o ponto não pertence à reta .
Agora, vamos testar o ponto :
Resolvendo a primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: (verdadeiro).
E na terceira equação: (verdadeiro).
Como todas as equações são satisfeitas para , o ponto pertence à reta .

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 3 + t y = 1 + 2t z = 2 + 3t são:
O ponto pertence à reta .

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