Questão (19u, n. 50) Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y = ln(x) los(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre como derivar funções que são produtos de outras funções. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivação logarítmica. Essa técnica é útil quando temos funções complicadas, principalmente produtos, quocientes ou potências, porque ela simplifica o processo de derivação ao aplicar o logaritmo dos dois lados da equação.

Passo 3

Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos simplificar o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar , usamos a regra da cadeia:
E para o lado direito:
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente para derivar e . Note que é o logaritmo na base 10, então sua derivada é .

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Simplificando as expressões:

Resposta

A derivada de é:

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