Questão (19u, n. 50) Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre como derivar funções que são produtos de outras funções. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivação logarítmica. Essa técnica é útil quando temos funções complicadas, principalmente produtos, quocientes ou potências, porque ela simplifica o processo de derivação ao aplicar o logaritmo dos dois lados da equação.
Passo 3
Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos simplificar o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
, usamos a regra da cadeia:
E para o lado direito:
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente para derivar
e
. Note que
é o logaritmo na base 10, então sua derivada é
.
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Simplificando as expressões:
Resposta
A derivada de
é:
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