Questão (pág 218,
)
(27,432) Uma quadra de beisebol um quadrado com lado de 90 pés. Um jogador corre da primeira base com velocidade de 24 pés/s.
a) A que velocidade a distância dele da segunda base diminui quando ele está a 30 pés da primeira base?
b) A que taxa a distância da terceira base aumenta no mesmo momento?
(27,432) Uma quadra de beisebol um quadrado com lado de 90 pés. Um jogador corre da primeira base com velocidade de 24 pés/s.
a) A que velocidade a distância dele da segunda base diminui quando ele está a 30 pés da primeira base?
b) A que taxa a distância da terceira base aumenta no mesmo momento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um jogador de beisebol que está correndo em uma quadra que é um quadrado de 90 pés de lado. Ele está correndo da primeira base com uma velocidade de 24 pés por segundo. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A que velocidade a distância dele da segunda base está diminuindo quando ele está a 30 pés da primeira base.
b) A que taxa a distância da terceira base está aumentando nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que nos ajuda a entender como as velocidades de diferentes grandezas estão conectadas.
a) A que velocidade a distância dele da segunda base está diminuindo quando ele está a 30 pés da primeira base.
b) A que taxa a distância da terceira base está aumentando nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que nos ajuda a entender como as velocidades de diferentes grandezas estão conectadas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a quadra de beisebol como um quadrado. Vamos colocar a primeira base no ponto
, a segunda base em
, a terceira em
e o home em
. O jogador está correndo de
para
.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis:
- Seja
a distância do jogador da primeira base . - Seja
a distância do jogador da segunda base . - Seja
a distância do jogador da terceira base .
Sabemos quepés/segundo (velocidade do jogador).
Passo 4
Na parte a), queremos encontrar
quando
pés.
A quadra é um quadrado, então a distância da primeira para a segunda base também é 90 pés. Quando o jogador está a pés de
, a distância
para
forma um triângulo retângulo com
e 90 pés.
Usamos o teorema de Pitágoras:
A quadra é um quadrado, então a distância da primeira para a segunda base também é 90 pés. Quando o jogador está a
Usamos o teorema de Pitágoras:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular
quando
pés:
Agora, substituímos os valores na equação da taxa:
Como a distância está diminuindo, a taxa é negativa:
Passo 6
Na parte b), queremos encontrar
quando
pés.
A distância para a terceira base
também forma um triângulo retângulo com
e
pés, mas agora no outro lado do quadrado.
Usamos novamente o teorema de Pitágoras:
A distância
Usamos novamente o teorema de Pitágoras:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Passo 7
Usando
pés e
pés (mesmo cálculo de
):
Como a distância está aumentando, a taxa é positiva:
Resposta
a) A distância da segunda base está diminuindo a aproximadamente
pés por segundo.
b) A distância da terceira base está aumentando a aproximadamente pés por segundo.
b) A distância da terceira base está aumentando a aproximadamente
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