Questão (pág 218, pi - 20)
(27,432) Uma quadra de beisebol um quadrado com lado de 90 pés. Um jogador corre da primeira base com velocidade de 24 pés/s.
a) A que velocidade a distância dele da segunda base diminui quando ele está a 30 pés da primeira base?
b) A que taxa a distância da terceira base aumenta no mesmo momento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um jogador de beisebol que está correndo em uma quadra que é um quadrado de 90 pés de lado. Ele está correndo da primeira base com uma velocidade de 24 pés por segundo. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A que velocidade a distância dele da segunda base está diminuindo quando ele está a 30 pés da primeira base.
b) A que taxa a distância da terceira base está aumentando nesse mesmo momento.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que nos ajuda a entender como as velocidades de diferentes grandezas estão conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a quadra de beisebol como um quadrado. Vamos colocar a primeira base no ponto , a segunda base em , a terceira em e o home em . O jogador está correndo de para .

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis:
  • Seja a distância do jogador da primeira base .
  • Seja a distância do jogador da segunda base .
  • Seja a distância do jogador da terceira base .
    Sabemos que pés/segundo (velocidade do jogador).

Passo 4

Na parte a), queremos encontrar quando pés.
A quadra é um quadrado, então a distância da primeira para a segunda base também é 90 pés. Quando o jogador está a pés de , a distância para forma um triângulo retângulo com e 90 pés.
Usamos o teorema de Pitágoras:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular quando pés:
é
Agora, substituímos os valores na equação da taxa:
é
Como a distância está diminuindo, a taxa é negativa:
é

Passo 6

Na parte b), queremos encontrar quando pés.
A distância para a terceira base também forma um triângulo retângulo com e pés, mas agora no outro lado do quadrado.
Usamos novamente o teorema de Pitágoras:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:

Passo 7

Usando pés e pés (mesmo cálculo de ):
é
Como a distância está aumentando, a taxa é positiva:
é

Resposta

a) A distância da segunda base está diminuindo a aproximadamente pés por segundo.
b) A distância da terceira base está aumentando a aproximadamente pés por segundo.

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