Questão (pág 194, n * 34 )
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado
y = x^2 ln(x), (1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para achar a equação da reta tangente à curva no ponto (1, 0). Aqui, a matéria envolvida é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto (1, 0) está mesmo na curva. Substituindo na função:
Então, o ponto está na curva, tudo certo!

Passo 3

Agora, para achar a reta tangente, precisamos descobrir a inclinação dela no ponto dado. Isso é feito calculando a derivada da função .

Passo 4

Vamos calcular a derivada . A função é um produto de e , então usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Então, a derivada é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para achar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 6

Com a inclinação e passando pelo ponto (1, 0), usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 0) é .

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