Questão [2,5]: Construa o gráfico de Bode de amplitude e fase para H(omega).
H(omega)=100(j omega+2)(j omega+10)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Precisamos construir o gráfico de Bode para a função de transferência $ H(\omega) = \frac{100}{(j \omega + 2)(j \omega + 10)} $. O gráfico de Bode mostra duas coisas: a amplitude (ou ganho) e a fase da função em função da frequência $ \omega $. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de controle e análise de sinais, como a representação em frequência e a decomposição em termos de magnitude e fase.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função de transferência em suas partes componentes. Podemos reescrever $ H(\omega) $ como:
H(omega)
Isso vai facilitar porque conseguimos analisar cada termo separadamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude e a fase de cada fator individualmente.
Para um termo do tipo $ \frac{1}{j \omega + a} $, a magnitude é:
1j omega + a
E a fase é:
| 1j omega + a | = 1raizomega^2 + a^2
Vamos aplicar isso para cada um dos fatores.

Passo 4

Calculando a magnitude total:
|H(omega)| = 100 cdot 1raizomega^2 + 2^2 cdot 1raizomega^2 + 10^2 = 100raiz(omega^2 + 4)(omega^2 + 100)
Para a fase total, somamos as fases de cada fator:
ang<= H(omega) = 0^circ - arctan(omega2) - arctan(omega10)

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico de amplitude. Para diferentes faixas de frequência $ \omega $, calculamos $ |H(\omega)| $ usando a fórmula acima. Normalmente, no gráfico de Bode, usamos uma escala logarítmica para $ \omega $.
  • Baixa frequência ($ \omega \ll 2 $): A magnitude é aproximadamente $ \frac{100}{2 \cdot 10} = 5 $ (em dB, $ 20 \log(5) \approx 14 $ dB).
  • Frequências intermediárias ($ 2 < \omega < 10 $): A magnitude começa a decair.
  • Alta frequência ($ \omega \gg 10 $): A magnitude cai proporcionalmente a $ \frac{1}{\omega^2} $, ou seja, a uma taxa de -40 dB/decade.

Passo 6

Para o gráfico de fase, usamos a expressão:
ang<= H(omega) = -arctan(omega2) - arctan(omega10)
  • Baixa frequência ($ \omega \ll 2 $): A fase é próxima de $ 0^\circ $.
  • Frequências perto dos polos (por volta de $ \omega = 2 $ e $ \omega = 10 $): A fase começa a decair.
  • Alta frequência ($ \omega \gg 10 $): A fase se aproxima de $ -180^\circ $.

Resposta

Com esses cálculos, construímos os gráficos de Bode para amplitude e fase da função $ H(\omega) $. A amplitude inicia em cerca de 14 dB para baixas frequências, decai gradualmente entre $ \omega = 2 $ e $ \omega = 10 $, e cai rapidamente a -40 dB/decade para altas frequências. A fase começa em $ 0^\circ $, desce gradualmente passando por cerca de $ -45^\circ $ e se aproxima de $ -180^\circ $ conforme a frequência aumenta. Assim, os gráficos de Bode refletem o comportamento do sistema em diversas faixas de frequência.

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