Questão [2,5]: Construa o gráfico de Bode de amplitude e fase para
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Precisamos construir o gráfico de Bode para a função de transferência $ H(\omega) = \frac{100}{(j \omega + 2)(j \omega + 10)} $. O gráfico de Bode mostra duas coisas: a amplitude (ou ganho) e a fase da função em função da frequência $ \omega $. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de controle e análise de sinais, como a representação em frequência e a decomposição em termos de magnitude e fase.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função de transferência em suas partes componentes. Podemos reescrever $ H(\omega) $ como:
Isso vai facilitar porque conseguimos analisar cada termo separadamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude e a fase de cada fator individualmente.
Para um termo do tipo $ \frac{1}{j \omega + a} $, a magnitude é:
E a fase é:
Vamos aplicar isso para cada um dos fatores.
Passo 4
Calculando a magnitude total:
Para a fase total, somamos as fases de cada fator:
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico de amplitude. Para diferentes faixas de frequência $ \omega $, calculamos $ |H(\omega)| $ usando a fórmula acima. Normalmente, no gráfico de Bode, usamos uma escala logarítmica para $ \omega $.
- Baixa frequência ($ \omega \ll 2 $): A magnitude é aproximadamente $ \frac{100}{2 \cdot 10} = 5 $ (em dB, $ 20 \log(5) \approx 14 $ dB).
- Frequências intermediárias ($ 2 < \omega < 10 $): A magnitude começa a decair.
- Alta frequência ($ \omega \gg 10 $): A magnitude cai proporcionalmente a $ \frac{1}{\omega^2} $, ou seja, a uma taxa de -40 dB/decade.
Passo 6
Para o gráfico de fase, usamos a expressão:
- Baixa frequência ($ \omega \ll 2 $): A fase é próxima de $ 0^\circ $.
- Frequências perto dos polos (por volta de $ \omega = 2 $ e $ \omega = 10 $): A fase começa a decair.
- Alta frequência ($ \omega \gg 10 $): A fase se aproxima de $ -180^\circ $.
Resposta
Com esses cálculos, construímos os gráficos de Bode para amplitude e fase da função $ H(\omega) $. A amplitude inicia em cerca de 14 dB para baixas frequências, decai gradualmente entre $ \omega = 2 $ e $ \omega = 10 $, e cai rapidamente a -40 dB/decade para altas frequências. A fase começa em $ 0^\circ $, desce gradualmente passando por cerca de $ -45^\circ $ e se aproxima de $ -180^\circ $ conforme a frequência aumenta. Assim, os gráficos de Bode refletem o comportamento do sistema em diversas faixas de frequência.