Construa o gráfico de Bode para a função de transferência G(s).
G(s)=90 s(s+3)^2, s=j omega

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de construir o gráfico de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{90s}{(s+3)^2} $. Aqui, estamos lidando com o tema de Controle de Sistemas, especificamente analisando a resposta em frequência de um sistema através do Gráfico de Bode. Para isso, vamos precisar calcular a magnitude e a fase de $ G(j\omega) $, onde $ s = j\omega $, e então plotar esses valores em função da frequência $ \omega $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ s $ por $ j\omega $ na função de transferência. Isso nos dá:
s
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a magnitude e a fase.

Passo 3

Vamos expandir o denominador:
(jomega + 3)^2 = (jomega)^2 + 2 cdot 3 cdot jomega + 3^2 = -omega^2 + 6jomega + 9
Então, a função fica:
G(jomega) = 90jomega9 - omega^2 + 6jomega

Passo 4

Para encontrar a magnitude de $ G(j\omega) $, usamos a fórmula:
G(jomega)
Calculando o numerador:
|G(jomega)| = |Numerador||Denominador|
Calculando o denominador:
|90jomega| = 90omega
Portanto:
|9 - omega^2 + 6jomega| = raiz(9 - omega^2)^2 + (6omega)^2 = raiz(9 - omega^2)^2 + 36omega^2

Passo 5

Para encontrar a fase de $ G(j\omega) $, usamos a fórmula:
G(jomega)
Calculando a fase do numerador:
ang<= G(jomega) = ang<= (Numerador) - ang<= (Denominador)
Calculando a fase do denominador:
ang<= 90jomega = 90^circ
Portanto:
ang<= (9 - omega^2 + 6jomega) = tan^-1(6omega9 - omega^2)

Passo 6

Com as expressões para magnitude e fase, agora podemos plotar o Gráfico de Bode:
  1. Magnitude: Plote $ 20 \log_{10} |G(j\omega)| $ em decibéis (dB) versus a frequência $ \omega $ em uma escala logarítmica.
  2. Fase: Plote $ \angle G(j\omega) $ em graus versus a frequência $ \omega $ na mesma escala logarítmica.

Resposta

O Gráfico de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{90s}{(s+3)^2} $ consiste em uma curva de magnitude que inicialmente aumenta com a frequência devido ao termo $ s $, atinge um pico e depois decai devido aos dois polos em $ s = -3 $. A curva de fase começa em $ 90^\circ $, reduz-se conforme a frequência aumenta, refletindo o efeito dos polos. Para visualizar, utilize as expressões de magnitude e fase obtidas nos passos anteriores e plote-as em uma escala logarítmica de frequência.

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