Construa o gráfico de Bode para a função de transferência
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de construir o gráfico de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{90s}{(s+3)^2} $. Aqui, estamos lidando com o tema de Controle de Sistemas, especificamente analisando a resposta em frequência de um sistema através do Gráfico de Bode. Para isso, vamos precisar calcular a magnitude e a fase de $ G(j\omega) $, onde $ s = j\omega $, e então plotar esses valores em função da frequência $ \omega $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ s $ por $ j\omega $ na função de transferência. Isso nos dá:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a magnitude e a fase.
Passo 3
Vamos expandir o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Para encontrar a magnitude de $ G(j\omega) $, usamos a fórmula:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar a fase de $ G(j\omega) $, usamos a fórmula:
Calculando a fase do numerador:
Calculando a fase do denominador:
Portanto:
Passo 6
Com as expressões para magnitude e fase, agora podemos plotar o Gráfico de Bode:
- Magnitude: Plote $ 20 \log_{10} |G(j\omega)| $ em decibéis (dB) versus a frequência $ \omega $ em uma escala logarítmica.
- Fase: Plote $ \angle G(j\omega) $ em graus versus a frequência $ \omega $ na mesma escala logarítmica.
Resposta
O Gráfico de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{90s}{(s+3)^2} $ consiste em uma curva de magnitude que inicialmente aumenta com a frequência devido ao termo $ s $, atinge um pico e depois decai devido aos dois polos em $ s = -3 $. A curva de fase começa em $ 90^\circ $, reduz-se conforme a frequência aumenta, refletindo o efeito dos polos. Para visualizar, utilize as expressões de magnitude e fase obtidas nos passos anteriores e plote-as em uma escala logarítmica de frequência.