Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação . O conteúdo aqui envolve estudo de parábolas, incluindo vértice, foco, diretriz, eixo focal e o latus rectum. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar a equação para identificar as características da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Começamos isolando os termos de :
Agora, completamos o quadrado para a expressão em . Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :
Assim, temos:

Passo 3

Vamos reescrever a equação para a forma padrão da parábola. Isolando :
Agora, a equação está na forma padrão , onde é o vértice e determina a direção e a distância do foco.

Passo 4

Comparando com a forma padrão, identificamos:
  • Vértice
  • então
Como é negativo, a parábola abre para baixo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o foco. O foco está localizado a uma distância do vértice na direção em que a parábola abre. Como :

Passo 6

A diretriz é uma reta que fica a uma distância do vértice, na direção oposta da abertura da parábola. Como :
O eixo focal é a linha vertical que passa pelo vértice e pelo foco. Como a parábola abre para baixo, o eixo é vertical:

Passo 7

O Latus Rectum é uma linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo foco e cujo comprimento é . Calculando:

Passo 8

Para esboçar a parábola, plotamos o vértice em , o foco em , a diretriz em e desenhamos a curva que abre para baixo, garantindo que o Latus Rectum tenha comprimento 8 passando pelo foco.

Resposta

(i) Vértice: e Foco: ;
(ii) Diretriz: e Eixo focal: ;
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 8;
(iv) O esboço da parábola é uma curva que abre para baixo com vértice em , foco em , diretriz em e Latus Rectum de comprimento 8.

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Calcule, em radianos, a medida angular entre e .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
c) eixo focal paralelo a e os pontos e pertencem ao seu gráfico;
Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
c) Centro e é tangente ao eixo
Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
d) Centro e passa pelo ponto