Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
c) x^2-6 x+8 y-23=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação . O conteúdo aqui envolve estudo de parábolas, incluindo vértice, foco, diretriz, eixo focal e o latus rectum. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar a equação para identificar as características da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Começamos isolando os termos de x^2 - 6x = -8y + 23 :
x^2 - 6x + 9 = -8y + 23 + 9
Agora, completamos o quadrado para a expressão em (x - 3)^2 = -8y + 32 . Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :
Assim, temos:

Passo 3

Vamos reescrever a equação para a forma padrão da parábola. Isolando (x - 3)^2 = -8(y - 4) :
Agora, a equação está na forma padrão , onde é o vértice e determina a direção e a distância do foco.

Passo 4

Comparando com a forma padrão, identificamos:
  • Vértice
  • então
Como é negativo, a parábola abre para baixo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o foco. O foco está localizado a uma distância Foco = (h, k + p) = (3, 4 - 2) = (3, 2) do vértice na direção em que a parábola abre. Como :

Passo 6

A diretriz é uma reta que fica a uma distância Diretriz: y = k - p = 4 - (-2) = 6 do vértice, na direção oposta da abertura da parábola. Como Eixo focal: x = 3 :
O eixo focal é a linha vertical que passa pelo vértice e pelo foco. Como a parábola abre para baixo, o eixo é vertical:

Passo 7

O Latus Rectum é uma linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo foco e cujo comprimento é Comprimento do Latus Rectum = |4p| = |4 times (-2)| = 8 . Calculando:

Passo 8

Para esboçar a parábola, plotamos o vértice em , o foco em , a diretriz em e desenhamos a curva que abre para baixo, garantindo que o Latus Rectum tenha comprimento 8 passando pelo foco.

Resposta

(i) Vértice: e Foco: ;
(ii) Diretriz: e Eixo focal: ;
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 8;
(iv) O esboço da parábola é uma curva que abre para baixo com vértice em , foco em , diretriz em e Latus Rectum de comprimento 8.

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