Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
c)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação
. O conteúdo aqui envolve estudo de parábolas, incluindo vértice, foco, diretriz, eixo focal e o latus rectum. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar a equação para identificar as características da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Começamos isolando os termos de
:
Agora, completamos o quadrado para a expressão em
. Para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
:
Assim, temos:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para a forma padrão da parábola. Isolando
:
Agora, a equação está na forma padrão
, onde
é o vértice e
determina a direção e a distância do foco.
Passo 4
Comparando com a forma padrão, identificamos:
- Vértice
-
então
Como
é negativo, a parábola abre para baixo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o foco. O foco está localizado a uma distância
do vértice na direção em que a parábola abre. Como
:
Passo 6
A diretriz é uma reta que fica a uma distância
do vértice, na direção oposta da abertura da parábola. Como
:
O eixo focal é a linha vertical que passa pelo vértice e pelo foco. Como a parábola abre para baixo, o eixo é vertical:
Passo 7
O Latus Rectum é uma linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo foco e cujo comprimento é
. Calculando:
Passo 8
Para esboçar a parábola, plotamos o vértice em
, o foco em
, a diretriz em
e desenhamos a curva que abre para baixo, garantindo que o Latus Rectum tenha comprimento 8 passando pelo foco.
Resposta
(i) Vértice:
e Foco:
;
(ii) Diretriz: e Eixo focal:
;
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 8;
(iv) O esboço da parábola é uma curva que abre para baixo com vértice em , foco em
, diretriz em
e Latus Rectum de comprimento 8.
(ii) Diretriz:
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 8;
(iv) O esboço da parábola é uma curva que abre para baixo com vértice em
Exercícios relacionados
Calcule, em radianos, a medida angular entre
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
c) eixo focal paralelo a e os pontos
e
pertencem ao seu gráfico;
c) eixo focal paralelo a
Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
c) Centro e é tangente ao eixo
c) Centro
Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
d) Centro e passa pelo ponto
d) Centro