QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular a derivada da função
para
usando o método das funções inversas. Isso envolve encontrar a função inversa de
e depois calcular a derivada dessa inversa para chegar à derivada de
. Vamos precisar entender o que é função inversa e como calcular derivadas usando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se temos uma função
, a função inversa, denotada por
, “desfaz” o que
faz. Ou seja, se
, então
.
No nosso caso, temos
. Precisamos encontrar
, que será uma função que, dado um
, retorna o
correspondente.
Passo 3
Vamos encontrar a função inversa. Começamos com a equação:
Para achar
em função de
, seguimos os passos:
- Tirar o logaritmo natural de ambos os lados para “desfazer” a exponenciação:
- Resolver para
:
Então, a função inversa é:
Passo 4
Agora que temos a função inversa
, vamos calcular a sua derivada em relação a
. Utilizamos a regra da derivada da raiz e a regra da cadeia.
A função inversa é:
Calculando a derivada:
Passo 5
Segundo o método das funções inversas, a derivada de
é o inverso da derivada da função inversa
. Ou seja:
Já calculamos
:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Resposta
A derivada da função
para
usando o método das funções inversas é:
Simplificando, temos: