QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa) y = e^(x^2), x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular a derivada da função para usando o método das funções inversas. Isso envolve encontrar a função inversa de e depois calcular a derivada dessa inversa para chegar à derivada de . Vamos precisar entender o que é função inversa e como calcular derivadas usando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se temos uma função , a função inversa, denotada por , “desfaz” o que faz. Ou seja, se , então .
No nosso caso, temos . Precisamos encontrar , que será uma função que, dado um , retorna o correspondente.

Passo 3

Vamos encontrar a função inversa. Começamos com a equação:
Para achar em função de , seguimos os passos:
  1. Tirar o logaritmo natural de ambos os lados para “desfazer” a exponenciação:
  1. Resolver para :
Então, a função inversa é:

Passo 4

Agora que temos a função inversa , vamos calcular a sua derivada em relação a . Utilizamos a regra da derivada da raiz e a regra da cadeia.
A função inversa é:
Calculando a derivada:

Passo 5

Segundo o método das funções inversas, a derivada de é o inverso da derivada da função inversa . Ou seja:
Já calculamos :
Então, a derivada de em relação a é:

Resposta

A derivada da função para usando o método das funções inversas é:
Simplificando, temos:

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