QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente: ln(x^2 + y^2) = 0

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas das funções definidas implicitamente pela equação ln(x^2 + y^2) = 0. Isso envolve o estudo de derivadas implícitas, que é um método para encontrar a derivada de uma variável em relação a outra, mesmo quando elas estão misturadas na equação. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de diferenciação e como aplicá-las em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação dada: ln(x^2 + y^2) = 0. O logaritmo natural de alguma expressão igual a zero implica que a expressão dentro do logaritmo é igual a 1, já que . Então, podemos reescrever a equação como:
Isso representa a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita. Diferenciaremos ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da soma na derivada, temos:
Sabemos que a derivada de em relação a é . Já a derivada de em relação a requer o uso da regra da cadeia, já que é uma função de :

Passo 5

Substituindo as derivadas calculadas na equação:
Nosso objetivo é isolar . Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, subtraímos de ambos os lados da equação:
Em seguida, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Simplificando a expressão, os se cancelam:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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