QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente:
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas das funções definidas implicitamente pela equação
. Isso envolve o estudo de derivadas implícitas, que é um método para encontrar a derivada de uma variável em relação a outra, mesmo quando elas estão misturadas na equação. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de diferenciação e como aplicá-las em funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação dada:
. O logaritmo natural de alguma expressão igual a zero implica que a expressão dentro do logaritmo é igual a 1, já que
. Então, podemos reescrever a equação como:
Isso representa a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita. Diferenciaremos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da soma na derivada, temos:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Já a derivada de
em relação a
requer o uso da regra da cadeia, já que
é uma função de
:
Passo 5
Substituindo as derivadas calculadas na equação:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, subtraímos
de ambos os lados da equação:
Em seguida, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Simplificando a expressão, os
se cancelam:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: