QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente: e^y + cos(y) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função dada implicitamente pela equação . Isso significa que y está definido em função de x, mas não está isolado. Para resolver, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para encontrar quando y não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que, ao derivar com respeito a x, y também é uma função de x, então usamos a regra da cadeia sempre que derivamos uma expressão que envolve y.

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a u é , então:
  2. Derivada de :
    Também usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a u é , então:
  3. Derivada de :
    Simplesmente:

Passo 4

Agora, juntando tudo:

Passo 5

Vamos fatorar do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

A derivada da função implícita é:

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