QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função que está dada de forma implícita:
. Isso quer dizer que
é uma função de
, mas não está isolada. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Precisamos lembrar que, quando derivamos em relação a
, qualquer termo com
também vai precisar considerar a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A equação original é:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é , porque a constante 2 fica e a derivada de é . - A derivada de
em relação a usa a regra da cadeia. Primeiro derivamos em relação a , que é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . Então fica . - A derivada de
em relação a é simplesmente 1.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos que têm
. Ficou assim:
Queremos isolar
, então dividimos ambos os lados da equação por
:
Resposta
A derivada da função dada é: