QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente: 2y + cos(y) = x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função que está dada de forma implícita: . Isso quer dizer que é uma função de , mas não está isolada. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita. Precisamos lembrar que, quando derivamos em relação a , qualquer termo com também vai precisar considerar a derivada de em relação a , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A equação original é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é , porque a constante 2 fica e a derivada de é .
  • A derivada de em relação a usa a regra da cadeia. Primeiro derivamos em relação a , que é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . Então fica .
  • A derivada de em relação a é simplesmente 1.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que têm . Ficou assim:
Queremos isolar , então dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada da função dada é:

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