QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente: 2xy^2 + xy + x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função dada de forma implícita: . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a técnica de Derivação Implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação passo a passo e isolar a derivada que queremos encontrar, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada implícita. Quando uma função está dada de forma implícita, como nessa equação , não está isolada em termos de . Então, a gente precisa derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivando :
    • Aqui temos um produto de e , então usamos a Regra do Produto: .
    • Seja e .
    • Derivando : .
    • Derivando : (usando a regra da cadeia).
    • Então, a derivada de é: .
  2. Derivando :
    • Novamente, aplicamos a Regra do Produto.
    • Seja e .
    • Derivando : .
    • Derivando : .
    • Então, a derivada de é: .
  3. Derivando :
    • A derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar , então vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada da função dada é:

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