QUESTÃO: calcule as derivadas das funções dadas implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a derivada da função dada de forma implícita:
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a técnica de Derivação Implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação passo a passo e isolar a derivada que queremos encontrar, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivada implícita. Quando uma função está dada de forma implícita, como nessa equação
, não está isolada em termos de
. Então, a gente precisa derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação
em relação a
:
-
Derivando
: - Aqui temos um produto de
e , então usamos a Regra do Produto: . - Seja
e . - Derivando
: . - Derivando
: (usando a regra da cadeia). - Então, a derivada de
é: .
- Aqui temos um produto de
-
Derivando
: - Novamente, aplicamos a Regra do Produto.
- Seja
e . - Derivando
: . - Derivando
: . - Então, a derivada de
é: .
-
Derivando
: - A derivada de
em relação a é simplesmente .
- A derivada de
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada da função dada é: