3^ a Questão: Calcule a integral integral x d xraiz8-2 x^2-x^4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral:
integral x , dxraiz8 - 2x^2 - x^4
Esse problema envolve cálculo de integrais que requerem substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e escolher uma substituição adequada para resolver.

Passo 2

Observamos que o denominador da fração está dentro de uma raiz quadrada:
raiz8 - 2x^2 - x^4
Vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar a simplificação:
8 - 2x^2 - x^4 = -x^4 - 2x^2 + 8

Passo 3

Agora, vamos tentar fatorar o polinômio de quarto grau:
-x^4 - 2x^2 + 8 = -(x^4 + 2x^2 - 8)
Para fatorar u^2 + 2u - 8 , fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Seja , então:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática u = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62 usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções são e .

Passo 5

Portanto, o polinômio fatorado fica:
x^4 + 2x^2 - 8 = (x^2 - 2)(x^2 + 4)
Voltando à expressão original:
raiz8 - 2x^2 - x^4 = raiz - (x^2 - 2)(x^2 + 4)

Passo 6

Agora, vamos retornar à integral original e fazer a substituição integral x , dxraiz8 - 2x^2 - x^4 = 12 integral duraiz9 - (u + 1)^2 . Assim, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 7

A integral agora se assemelha a uma forma padrão de integral:
integral dzraiza^2 - z^2 = arcsin(za) + C
Onde e .

Passo 8

Aplicando a forma padrão, temos:
12 arcsin( u + 13 ) + C
Lembrando que 12 arcsin( x^2 + 13 ) + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:
12 arcsin( x^2 + 13 ) + C

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