Questão: Calcule a integral
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral:
Esse problema envolve cálculo de integrais que requerem substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e escolher uma substituição adequada para resolver.
Passo 2
Observamos que o denominador da fração está dentro de uma raiz quadrada:
Vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar a simplificação:
Passo 3
Agora, vamos tentar fatorar o polinômio de quarto grau:
Para fatorar
, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Seja
, então:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as soluções são
e
.
Passo 5
Portanto, o polinômio fatorado fica:
Voltando à expressão original:
Passo 6
Agora, vamos retornar à integral original e fazer a substituição
. Assim,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
A integral agora se assemelha a uma forma padrão de integral:
Onde
e
.
Passo 8
Aplicando a forma padrão, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Uma empresa tem lucro dado por
. A demanda é
. Ache:
A função receita total
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Em que t é o tempo em semanas e
é a receita com a venda do sanduíche em milhares de reais. Determine a receita com a venda do sanduíche após 10 semanas.