A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. Primeiro, vamos entender que uma integral é imprópria quando envolve limites de integração infinitos ou quando a função não está limitada em algum ponto do intervalo. Aqui, os limites vão de
a
, então essa integral é imprópria por causa dos limites infinitos. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de cálculo de integrais impróprias e manipulação de funções exponenciais.
Passo 2
Vamos lembrar que
é a função valor absoluto, que é igual a
quando
e
quando
. Isso significa que a função
muda de forma dependendo do valor de
. Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes: uma de
a
e outra de
a
. Assim, escreveremos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
por suas respectivas expressões em cada intervalo:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
-
Primeira Integral:A antiderivada de
é . Avaliando de a : Isso porque. -
Segunda Integral:A antiderivada de
é . Avaliando de a : Aqui,.
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral é 2.
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: