A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral-infty^infty e^-|x| d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^infty e^-|x| , dx. Primeiro, vamos entender que uma integral é imprópria quando envolve limites de integração infinitos ou quando a função não está limitada em algum ponto do intervalo. Aqui, os limites vão de -infty a infty, então essa integral é imprópria por causa dos limites infinitos. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de cálculo de integrais impróprias e manipulação de funções exponenciais.

Passo 2

Vamos lembrar que vert x vert é a função valor absoluto, que é igual a x quando x >= 0 e -x quando x < 0. Isso significa que a função e^-vert x vert muda de forma dependendo do valor de x. Para facilitar, vamos dividir a integral em duas partes: uma de -infty a 0 e outra de 0 a infty. Assim, escreveremos:
integral-infty^infty e^-vert x vert , dx = integral-infty^0 e^-vert x vert , dx + integral0^infty e^-vert x vert , dx

Passo 3

Agora, vamos substituir vert x vert por suas respectivas expressões em cada intervalo:
  • Para x < 0, vert x vert = -x, então e^-vert x vert = e^x.
  • Para x >= 0, vert x vert = x, então e^-vert x vert = e^-x.
Assim, a integral fica:
integral-infty^0 e^x , dx + integral0^infty e^-x , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira Integral:
    integral-infty^0 e^x , dx
    A antiderivada de e^x é e^x. Avaliando de -infty a 0:
    [ e^x ]-infty^0 = e^0 - limx to -infty e^x = 1 - 0 = 1
    Isso porque limx to -infty e^x = 0.
  2. Segunda Integral:
    integral0^infty e^-x , dx
    A antiderivada de e^-x é -e^-x. Avaliando de 0 a infty:
    [ -e^-x ]0^infty = 0 - (-e^0) = 0 + 1 = 1
    Aqui, limx to infty e^-x = 0.

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
integral-infty^infty e^-|x| , dx = 1 + 1 = 2
Portanto, o valor da integral é 2.

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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral1^infty 1x^3 / 2 d x
3^ a Questão: Calcule a integral integral x d xraiz8-2 x^2-x^4
4^a Questão: Resolva a integral
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