_ Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(h) integral1^2 1+xraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1raizx + xraizx = 1x^1/2 + x^1 - 1/2 = x^-1/2 + x^1/2 . Podemos dividir o numerador pelos termos da raiz:

Passo 3

Agora, a integral fica mais fácil de resolver:
integral1^2 ( x^-1/2 + x^1/2 ) , dx
Vamos integrar termo por termo. Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral x^-1/2 , dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2x^1/2
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23x^3/2

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração (1 e 2) na antiderivada encontrada:
2x^1/2 + 23x^3/2 gr|1^2
Calculando para 2(2)^1/2 + 23(2)^3/2 = 2raiz2 + 23 cdot 2raiz2 = 2raiz2 + 4raiz23 :
2(1)^1/2 + 23(1)^3/2 = 2(1) + 23(1) = 2 + 23 = 83
Calculando para :

Passo 6

Subtraindo os valores:
(2raiz2 + 4raiz23) - 83 = 6raiz2 + 4raiz2 - 83 = 10raiz2 - 83

Resposta

A integral definida é igual a .

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