_ Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
71. integral x^3 cos (x^4+2) d x;

Passo 1

Fala! Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente a substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, quando substituída por uma variável nova, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro do cosseno que pode ser substituída. Observamos que u = x^4 + 2 está dentro do cosseno. Vamos chamar essa expressão de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x^3 em relação a du = 4x^3 dx , que é :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^3 dx = 14 du em termos de . Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 5

Substituindo integral x^3 cos (x^4+2) dx = integral cos(u) cdot 14 du = 14 integral cos(u) du e na integral original:

Passo 6

A integral de 14 integral cos(u) du = 14 sin(u) + C em relação a é (onde é a constante de integração):

Passo 7

Finalmente, substitu��mos 14 sin(x^4 + 2) + C de volta pela expressão original :

Resposta

integral x^3 cos (x^4+2) dx = 14 sin(x^4 + 2) + C

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